Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvmptss Unicode version

Theorem fvmptss 5964
 Description: If all the values of the mapping are subsets of a class , then so is any evaluation of the mapping, even if is not in the base set . (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fvmpt2.1
Assertion
Ref Expression
fvmptss
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem fvmptss
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvmpt2.1 . . . . 5
21dmmptss 5508 . . . 4
32sseli 3499 . . 3
4 fveq2 5871 . . . . . . 7
54sseq1d 3530 . . . . . 6
65imbi2d 316 . . . . 5
7 nfcv 2619 . . . . . 6
8 nfra1 2838 . . . . . . 7
9 nfmpt1 4541 . . . . . . . . . 10
101, 9nfcxfr 2617 . . . . . . . . 9
1110, 7nffv 5878 . . . . . . . 8
12 nfcv 2619 . . . . . . . 8
1311, 12nfss 3496 . . . . . . 7
148, 13nfim 1920 . . . . . 6
15 fveq2 5871 . . . . . . . 8
1615sseq1d 3530 . . . . . . 7
1716imbi2d 316 . . . . . 6
181dmmpt 5507 . . . . . . . . . . 11
1918rabeq2i 3106 . . . . . . . . . 10
201fvmpt2 5963 . . . . . . . . . . 11
21 eqimss 3555 . . . . . . . . . . 11
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . 10
2319, 22sylbi 195 . . . . . . . . 9
24 ndmfv 5895 . . . . . . . . . 10
25 0ss 3814 . . . . . . . . . 10
2624, 25syl6eqss 3553 . . . . . . . . 9
2723, 26pm2.61i 164 . . . . . . . 8
28 rsp 2823 . . . . . . . . 9
2928impcom 430 . . . . . . . 8
3027, 29syl5ss 3514 . . . . . . 7
3130ex 434 . . . . . 6
327, 14, 17, 31vtoclgaf 3172 . . . . 5
336, 32vtoclga 3173 . . . 4
3433impcom 430 . . 3
353, 34sylan2 474 . 2
36 ndmfv 5895 . . . 4
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  e.cmpt 4510  domcdm 5004  `cfv 5593 This theorem is referenced by:  relmptopab  6523  ovmptss  6881 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601