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Theorem fvn0ssdmfun 6022
Description: If a class' function values for certain arguments is not the empty set, the arguments are contained in the domain of the class, and the class restricted to the arguments is a function, analogous to fvfundmfvn0 5903. (Contributed by AV, 27-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
fvn0ssdmfun
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem fvn0ssdmfun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvfundmfvn0 5903 . . 3
21ralimi 2850 . 2
3 r19.26 2984 . . 3
4 eleq1 2529 . . . . . 6
54rspccv 3207 . . . . 5
65ssrdv 3509 . . . 4
7 funrel 5610 . . . . . . . 8
87ralimi 2850 . . . . . . 7
9 reliun 5128 . . . . . . 7
108, 9sylibr 212 . . . . . 6
11 sneq 4039 . . . . . . . . . . . . . 14
1211reseq2d 5278 . . . . . . . . . . . . 13
1312funeqd 5614 . . . . . . . . . . . 12
1413rspcva 3208 . . . . . . . . . . 11
15 dffun5 5606 . . . . . . . . . . . 12
16 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1716elsnres 5315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1817imbi1i 325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1918albii 1640 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2019exbii 1667 . . . . . . . . . . . . . . 15
2120albii 1640 . . . . . . . . . . . . . 14
22 equcom 1794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
23 opeq12 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2423ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2522, 24syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2726impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
28 opeq2 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2928equcoms 1795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3029eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3130biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3231adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3332impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3427, 33jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3534ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3635spimev 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3736ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3837imim1d 75 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3938alimdv 1709 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4039eximdv 1710 . . . . . . . . . . . . . . 15
4140spimvw 1784 . . . . . . . . . . . . . 14
4221, 41sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
4415, 43sylbi 195 . . . . . . . . . . 11
4514, 44syl 16 . . . . . . . . . 10
4645expcom 435 . . . . . . . . 9
47 ancomst 452 . . . . . . . . . . . . 13
48 impexp 446 . . . . . . . . . . . . 13
4947, 48bitri 249 . . . . . . . . . . . 12
5049albii 1640 . . . . . . . . . . 11
5150exbii 1667 . . . . . . . . . 10
52 19.21v 1729 . . . . . . . . . . 11
5352exbii 1667 . . . . . . . . . 10
54 19.37v 1768 . . . . . . . . . 10
5551, 53, 543bitri 271 . . . . . . . . 9
5646, 55sylibr 212 . . . . . . . 8
5756alrimiv 1719 . . . . . . 7
58 resiun2 5298 . . . . . . . . . . . . . 14
5958eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . . 13
6059eleq2i 2535 . . . . . . . . . . . 12
61 iunid 4385 . . . . . . . . . . . . . 14
6261reseq2i 5275 . . . . . . . . . . . . 13
6362eleq2i 2535 . . . . . . . . . . . 12
64 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
6564opelres 5284 . . . . . . . . . . . 12
6660, 63, 653bitri 271 . . . . . . . . . . 11
6766imbi1i 325 . . . . . . . . . 10
6867albii 1640 . . . . . . . . 9
6968exbii 1667 . . . . . . . 8
7069albii 1640 . . . . . . 7
7157, 70sylibr 212 . . . . . 6
72 dffun5 5606 . . . . . 6
7310, 71, 72sylanbrc 664 . . . . 5
7461eqcomi 2470 . . . . . . . 8
7574reseq2i 5275 . . . . . . 7
7675funeqi 5613 . . . . . 6
7758funeqi 5613 . . . . . 6
7876, 77bitri 249 . . . . 5
7973, 78sylibr 212 . . . 4
806, 79anim12i 566 . . 3
813, 80sylbi 195 . 2
822, 81syl 16 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035  U_ciun 4330  domcdm 5004  |`cres 5006  Relwrel 5009  Funwfun 5587  `cfv 5593
This theorem is referenced by:  fveqressseq  6027  ovn0ssdmfun  32455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-res 5016  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601
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