Theorem fvresex 6683

Description: Existence of the class of values of a restricted class. (Contributed by NM, 14-Nov-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvresex.1

Assertion

Ref	Expression
fvresex

Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem fvresex

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3490	. . . . . . . 8
2		resmpt 5274	. . . . . . . 8
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7
4	3	fveq1i 5814	. . . . . 6
5		vex 3084	. . . . . . . 8
6		fveq2 5813	. . . . . . . . 9
7		eqid 2454	. . . . . . . . 9
8		fvex 5823	. . . . . . . . 9
9	6, 7, 8	fvmpt 5897	. . . . . . . 8
10	5, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7
11		fveqres 5847	. . . . . . 7
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6
13	4, 12	eqtr3i 2485	. . . . 5
14	13	eqeq2i 2472	. . . 4
15	14	exbii 1635	. . 3
16	15	abbii 2588	. 2
17		fvresex.1	. . . 4
18	17	mptex 6073	. . 3
19	18	fvclex 6682	. 2
20	16, 19	eqeltrri 2539	1

Syntax hints:  =wceq 1370  E.wex 1587  e.wcel 1758  {cab 2439  cvv 3081  C_wss 3442  e.cmpt 4467  |`cres 4959  `cfv 5537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-id 4753  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545