Theorem fvresex 6773

Description: Existence of the class of values of a restricted class. (Contributed by NM, 14-Nov-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvresex.1

Assertion

Ref	Expression
fvresex

Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem fvresex

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3523	. . . . . . . 8
2		resmpt 5328	. . . . . . . 8
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7
4	3	fveq1i 5872	. . . . . 6
5		vex 3112	. . . . . . . 8
6		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
7		eqid 2457	. . . . . . . . 9
8		fvex 5881	. . . . . . . . 9
9	6, 7, 8	fvmpt 5956	. . . . . . . 8
10	5, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7
11		fveqres 5905	. . . . . . 7
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6
13	4, 12	eqtr3i 2488	. . . . 5
14	13	eqeq2i 2475	. . . 4
15	14	exbii 1667	. . 3
16	15	abbii 2591	. 2
17		fvresex.1	. . . 4
18	17	mptex 6143	. . 3
19	18	fvclex 6772	. 2
20	16, 19	eqeltrri 2542	1

Syntax hints:  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  cvv 3109  C_wss 3475  e.cmpt 4510  |`cres 5006  `cfv 5593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601