MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz0fzdiffz0 Unicode version

Theorem fz0fzdiffz0 11812
Description: The difference of an integer in a finite set of sequential nonnegative integers and and an integer of a finite set of sequential integers with the same upper bound and the nonnegative integer as lower bound is a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
fz0fzdiffz0

Proof of Theorem fz0fzdiffz0
StepHypRef Expression
1 fz0fzelfz0 11809 . . 3
2 elfzle1 11718 . . . . . . 7
32adantl 466 . . . . . 6
43adantl 466 . . . . 5
5 elfznn0 11800 . . . . . . 7
65adantr 465 . . . . . 6
7 elfznn0 11800 . . . . . 6
8 nn0sub 10871 . . . . . 6
96, 7, 8syl2anr 478 . . . . 5
104, 9mpbid 210 . . . 4
11 elfz3nn0 11801 . . . . 5
1211adantr 465 . . . 4
13 elfz2nn0 11798 . . . . . . 7
14 elfz2 11708 . . . . . . . . . . 11
15 zsubcl 10931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1615zred 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1716ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
18173adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
19 zre 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
20193ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
21 zre 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
22213ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2318, 20, 223jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
26 nn0ge0 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
28 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
29 subge02 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3020, 28, 29syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3127, 30mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3231anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
33 letr 9699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3425, 32, 33sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3534exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
3736com14 88 . . . . . . . . . . . . 13
3837adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
3938impcom 430 . . . . . . . . . . 11
4014, 39sylbi 195 . . . . . . . . . 10
4140com13 80 . . . . . . . . 9
4241impcom 430 . . . . . . . 8
43423adant3 1016 . . . . . . 7
4413, 43sylbi 195 . . . . . 6
4544imp 429 . . . . 5
4645adantl 466 . . . 4
4710, 12, 463jca 1176 . . 3
481, 47mpancom 669 . 2
49 elfz2nn0 11798 . 2
5048, 49sylibr 212 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513   cle 9650   cmin 9828   cn0 10820   cz 10889   cfz 11701
This theorem is referenced by:  swrdtrcfv  12668  swrdccatwrd  12693  chfacfpmmulgsum2  19366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702
  Copyright terms: Public domain W3C validator