Theorem fz0fzelfz0 11809

Description: If a member of a finite set of sequential integers with a lower bound being a member of a finite set of sequential nonnegative integers with the same upper bound, this member is also a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fz0fzelfz0

Proof of Theorem fz0fzelfz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 11798	. . . 4
2		elfz2 11708	. . . . . 6
3		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
4		0red 9618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5		nn0re 10829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6	5	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7		zre 10893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8	7	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9	4, 6, 8	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10	9	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11		nn0ge0 10846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13	12	anim1i 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14		letr 9699	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15	10, 13, 14	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
16		elnn0z 10902	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
17	3, 15, 16	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . . 16
18	17	exp31 604	. . . . . . . . . . . . . . 15
19	18	com23 78	. . . . . . . . . . . . . 14
20	19	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . 13
21	20	com13 80	. . . . . . . . . . . 12
22	21	adantrd 468	. . . . . . . . . . 11
23	22	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . 10
24	23	imp 429	. . . . . . . . 9
25	24	imp 429	. . . . . . . 8
26		simpr2 1003	. . . . . . . 8
27		simplrr 762	. . . . . . . 8
28	25, 26, 27	3jca 1176	. . . . . . 7
29	28	ex 434	. . . . . 6
30	2, 29	sylbi 195	. . . . 5
31	30	com12 31	. . . 4
32	1, 31	sylbi 195	. . 3
33	32	imp 429	. 2
34		elfz2nn0 11798	. 2
35	33, 34	sylibr 212	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cr 9512  0cc0 9513  cle 9650  cn0 10820  cz 10889  cfz 11701

This theorem is referenced by:  fz0fzdiffz0  11812  fourierdlem15  31904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702