Theorem fz1isolem 12510

Description: Lemma for fz1iso 12511. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fz1iso.1
fz1iso.2
fz1iso.3
fz1iso.4

Assertion

Ref	Expression
fz1isolem

Distinct variable groups:   ,,   ,   ,   ,O   ,

Proof of Theorem fz1isolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 12428	. . . . . . . . 9
2	1	adantl 466	. . . . . . . 8
3		nnuz 11145	. . . . . . . . . . 11
4		1z 10919	. . . . . . . . . . . . 13
5		fz1iso.1	. . . . . . . . . . . . 13
6	4, 5	om2uzisoi 12065	. . . . . . . . . . . 12
7		isoeq5 6219	. . . . . . . . . . . 12
8	6, 7	mpbiri 233	. . . . . . . . . . 11
9	3, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
10		isocnv 6226	. . . . . . . . . 10
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
12		nn0p1nn 10860	. . . . . . . . 9
13		fz1iso.2	. . . . . . . . . 10
14		fz1iso.3	. . . . . . . . . . 11
15		fvex 5881	. . . . . . . . . . . . 13
16	15	epini 5372	. . . . . . . . . . . 12
17	16	ineq2i 3696	. . . . . . . . . . 11
18	14, 17	eqtr4i 2489	. . . . . . . . . 10
19	13, 18	isoini2 6235	. . . . . . . . 9
20	11, 12, 19	sylancr 663	. . . . . . . 8
21	2, 20	syl 16	. . . . . . 7
22		nnz 10911	. . . . . . . . . . . . 13
23	2	nn0zd 10992	. . . . . . . . . . . . 13
24		eluz 11123	. . . . . . . . . . . . 13
25	22, 23, 24	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . 12
26		zleltp1 10939	. . . . . . . . . . . . . 14
27	22, 23, 26	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . . 13
28		ovex 6324	. . . . . . . . . . . . . 14
29		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . 15
30	29	eliniseg 5371	. . . . . . . . . . . . . 14
31	28, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
32	27, 31	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . . 12
33	25, 32	bitr2d 254	. . . . . . . . . . 11
34	33	pm5.32da 641	. . . . . . . . . 10
35	13	elin2 3688	. . . . . . . . . 10
36		elfzuzb 11711	. . . . . . . . . . 11
37		elnnuz 11146	. . . . . . . . . . . 12
38	37	anbi1i 695	. . . . . . . . . . 11
39	36, 38	bitr4i 252	. . . . . . . . . 10
40	34, 35, 39	3bitr4g 288	. . . . . . . . 9
41	40	eqrdv 2454	. . . . . . . 8
42		isoeq4 6218	. . . . . . . 8
43	41, 42	syl 16	. . . . . . 7
44	21, 43	mpbid 210	. . . . . 6
45		fz1iso.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
46	45	oion 7982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
47	46	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16
48		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
49		wofi 7789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
50	45	oien 7984	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
51	48, 49, 50	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
52		enfii 7757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
53	48, 51, 52	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16
54	47, 53	elind 3687	. . . . . . . . . . . . . . 15
55		onfin2 7729	. . . . . . . . . . . . . . 15
56	54, 55	syl6eleqr 2556	. . . . . . . . . . . . . 14
57		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58		0z 10900	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	5, 57, 4, 58	uzrdgxfr 12077	. . . . . . . . . . . . . . 15
60		1m0e1 10671	. . . . . . . . . . . . . . . 16
61	60	oveq2i 6307	. . . . . . . . . . . . . . 15
62	59, 61	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . . . 14
63	56, 62	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
64	51	ensymd 7586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65		cardennn 8385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
66	64, 56, 65	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67	66	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	57	hashgval 12408	. . . . . . . . . . . . . . . 16
69	68	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15
70	67, 69	eqtr3d 2500	. . . . . . . . . . . . . 14
71	70	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . 13
72	63, 71	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . 12
73	72	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . 11
74		isof1o 6221	. . . . . . . . . . . . 13
75	9, 74	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
76		f1ocnvfv1 6182	. . . . . . . . . . . 12
77	75, 56, 76	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11
78	73, 77	eqtr3d 2500	. . . . . . . . . 10
79	78	ineq2d 3699	. . . . . . . . 9
80		ordom 6709	. . . . . . . . . . 11
81		ordelss 4899	. . . . . . . . . . 11
82	80, 56, 81	sylancr 663	. . . . . . . . . 10
83		sseqin2 3716	. . . . . . . . . 10
84	82, 83	sylib 196	. . . . . . . . 9
85	79, 84	eqtrd 2498	. . . . . . . 8
86	14, 85	syl5eq 2510	. . . . . . 7
87		isoeq5 6219	. . . . . . 7
88	86, 87	syl 16	. . . . . 6
89	44, 88	mpbid 210	. . . . 5
90	45	oiiso 7983	. . . . . 6
91	48, 49, 90	syl2anc 661	. . . . 5
92		isotr 6232	. . . . 5
93	89, 91, 92	syl2anc 661	. . . 4
94		isof1o 6221	. . . 4
95		f1of 5821	. . . 4
96	93, 94, 95	3syl 20	. . 3
97		fzfid 12083	. . 3
98		fex 6145	. . 3
99	96, 97, 98	syl2anc 661	. 2
100		isoeq1 6215	. . 3
101	100	spcegv 3195	. 2
102	99, 93, 101	sylc 60	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  {csn 4029   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  cep 4794  Orwor 4804  Wewwe 4842  Ordword 4882  con0 4883  `'ccnv 5003  domcdm 5004  |`cres 5006  "cima 5007  o.ccom 5008  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  (class class class)co 6296  com 6700  reccrdg 7094  cen 7533  cfn 7536  OrdIsocoi 7955  ccrd 8337  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  cn 10561  cn0 10820  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  chash 12405

This theorem is referenced by:  fz1iso  12511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-hash 12406