Theorem fzen 11732

Description: A shifted finite set of sequential integers is equinumerous to the original set. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzen

Proof of Theorem fzen

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6324	. . 3
2	1	a1i 11	. 2
3		ovex 6324	. . 3
4	3	a1i 11	. 2
5		elfz1 11706	. . . . 5
6	5	biimpd 207	. . . 4
7	6	3adant3 1016	. . 3
8		zaddcl 10929	. . . . . . . . . . 11
9	8	expcom 435	. . . . . . . . . 10
10	9	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . 9
11	10	adantrd 468	. . . . . . . 8
12		zre 10893	. . . . . . . . . . . . . . 15
13		zre 10893	. . . . . . . . . . . . . . 15
14		zre 10893	. . . . . . . . . . . . . . 15
15		leadd1 10045	. . . . . . . . . . . . . . 15
16	12, 13, 14, 15	syl3an 1270	. . . . . . . . . . . . . 14
17	16	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . 13
18	17	adantrd 468	. . . . . . . . . . . 12
19	18	3com23 1202	. . . . . . . . . . 11
20	19	3expia 1198	. . . . . . . . . 10
21	20	impd 431	. . . . . . . . 9
22	21	3adant2 1015	. . . . . . . 8
23		zre 10893	. . . . . . . . . . . . . . 15
24		leadd1 10045	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	13, 23, 14, 24	syl3an 1270	. . . . . . . . . . . . . 14
26	25	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . 13
27	26	adantld 467	. . . . . . . . . . . 12
28	27	3coml 1203	. . . . . . . . . . 11
29	28	3expia 1198	. . . . . . . . . 10
30	29	impd 431	. . . . . . . . 9
31	30	3adant1 1014	. . . . . . . 8
32	11, 22, 31	3jcad 1177	. . . . . . 7
33		zaddcl 10929	. . . . . . . . . 10
34	33	3adant2 1015	. . . . . . . . 9
35		zaddcl 10929	. . . . . . . . . 10
36	35	3adant1 1014	. . . . . . . . 9
37		elfz1 11706	. . . . . . . . 9
38	34, 36, 37	syl2anc 661	. . . . . . . 8
39	38	biimprd 223	. . . . . . 7
40	32, 39	syld 44	. . . . . 6
41	40	com12 31	. . . . 5
42	41	3impb 1192	. . . 4
43	42	com12 31	. . 3
44	7, 43	syld 44	. 2
45		elfz1 11706	. . . . 5
46	34, 36, 45	syl2anc 661	. . . 4
47	46	biimpd 207	. . 3
48		zsubcl 10931	. . . . . . . . . . 11
49	48	expcom 435	. . . . . . . . . 10
50	49	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . 9
51	50	adantrd 468	. . . . . . . 8
52		zre 10893	. . . . . . . . . . . . . 14
53		leaddsub 10053	. . . . . . . . . . . . . 14
54	12, 14, 52, 53	syl3an 1270	. . . . . . . . . . . . 13
55	54	biimpd 207	. . . . . . . . . . . 12
56	55	adantrd 468	. . . . . . . . . . 11
57	56	3expia 1198	. . . . . . . . . 10
58	57	impd 431	. . . . . . . . 9
59	58	3adant2 1015	. . . . . . . 8
60		lesubadd 10049	. . . . . . . . . . . . . . . 16
61	52, 14, 23, 60	syl3an 1270	. . . . . . . . . . . . . . 15
62	61	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . 14
63	62	adantld 467	. . . . . . . . . . . . 13
64	63	3coml 1203	. . . . . . . . . . . 12
65	64	3expia 1198	. . . . . . . . . . 11
66	65	impd 431	. . . . . . . . . 10
67	66	ancoms 453	. . . . . . . . 9
68	67	3adant1 1014	. . . . . . . 8
69	51, 59, 68	3jcad 1177	. . . . . . 7
70		elfz1 11706	. . . . . . . . 9
71	70	biimprd 223	. . . . . . . 8
72	71	3adant3 1016	. . . . . . 7
73	69, 72	syld 44	. . . . . 6
74	73	com12 31	. . . . 5
75	74	3impb 1192	. . . 4
76	75	com12 31	. . 3
77	47, 76	syld 44	. 2
78	7	imp 429	. . . . 5
79	78	simp1d 1008	. . . 4
80	79	ex 434	. . 3
81	47	imp 429	. . . . 5
82	81	simp1d 1008	. . . 4
83	82	ex 434	. . 3
84		zcn 10894	. . . . . . 7
85		zcn 10894	. . . . . . 7
86		zcn 10894	. . . . . . 7
87		subadd 9846	. . . . . . . . 9
88		eqcom 2466	. . . . . . . . 9
89		eqcom 2466	. . . . . . . . 9
90	87, 88, 89	3bitr3g 287	. . . . . . . 8
91		addcom 9787	. . . . . . . . . 10
92	91	3adant1 1014	. . . . . . . . 9
93	92	eqeq2d 2471	. . . . . . . 8
94	90, 93	bitrd 253	. . . . . . 7
95	84, 85, 86, 94	syl3an 1270	. . . . . 6
96	95	3coml 1203	. . . . 5
97	96	3expib 1199	. . . 4
98	97	3ad2ant3 1019	. . 3
99	80, 83, 98	syl2and 483	. 2
100	2, 4, 44, 77, 99	en3d 7572	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cen 7533  cc 9511  cr 9512  caddc 9516  cle 9650  cmin 9828  cz 10889  cfz 11701

This theorem is referenced by:  fz01en  11742  fzen2  12079  hashfz  12485  mertenslem1  13693  hashdvds  14305  birthdaylem2  23282  eldioph2lem1  30693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-fz 11702