MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzennn Unicode version

Theorem fzennn 12078
Description: The cardinality of a finite set of sequential integers. (See om2uz0i 12058 for a description of the hypothesis.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fzennn.1
Assertion
Ref Expression
fzennn

Proof of Theorem fzennn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . 3
2 fveq2 5871 . . 3
31, 2breq12d 4465 . 2
4 oveq2 6304 . . 3
5 fveq2 5871 . . 3
64, 5breq12d 4465 . 2
7 oveq2 6304 . . 3
8 fveq2 5871 . . 3
97, 8breq12d 4465 . 2
10 oveq2 6304 . . 3
11 fveq2 5871 . . 3
1210, 11breq12d 4465 . 2
13 0ex 4582 . . . 4
1413enref 7568 . . 3
15 fz10 11735 . . 3
16 0z 10900 . . . . . 6
17 fzennn.1 . . . . . 6
1816, 17om2uzf1oi 12064 . . . . 5
19 peano1 6719 . . . . 5
2018, 19pm3.2i 455 . . . 4
2116, 17om2uz0i 12058 . . . 4
22 f1ocnvfv 6184 . . . 4
2320, 21, 22mp2 9 . . 3
2414, 15, 233brtr4i 4480 . 2
25 simpr 461 . . . . 5
26 ovex 6324 . . . . . . 7
27 fvex 5881 . . . . . . 7
28 en2sn 7615 . . . . . . 7
2926, 27, 28mp2an 672 . . . . . 6
3029a1i 11 . . . . 5
31 fzp1disj 11767 . . . . . 6
3231a1i 11 . . . . 5
33 f1ocnvdm 6188 . . . . . . . . . 10
3418, 33mpan 670 . . . . . . . . 9
35 nn0uz 11144 . . . . . . . . 9
3634, 35eleq2s 2565 . . . . . . . 8
37 nnord 6708 . . . . . . . 8
38 ordirr 4901 . . . . . . . 8
3936, 37, 383syl 20 . . . . . . 7
4039adantr 465 . . . . . 6
41 disjsn 4090 . . . . . 6
4240, 41sylibr 212 . . . . 5
43 unen 7618 . . . . 5
4425, 30, 32, 42, 43syl22anc 1229 . . . 4
45 1z 10919 . . . . . 6
46 1m1e0 10629 . . . . . . . . . 10
4746fveq2i 5874 . . . . . . . . 9
4835, 47eqtr4i 2489 . . . . . . . 8
4948eleq2i 2535 . . . . . . 7
5049biimpi 194 . . . . . 6
51 fzsuc2 11766 . . . . . 6
5245, 50, 51sylancr 663 . . . . 5
5352adantr 465 . . . 4
54 peano2 6720 . . . . . . . . 9
5536, 54syl 16 . . . . . . . 8
5655, 18jctil 537 . . . . . . 7
5716, 17om2uzsuci 12059 . . . . . . . . 9
5836, 57syl 16 . . . . . . . 8
5935eleq2i 2535 . . . . . . . . . . 11
6059biimpi 194 . . . . . . . . . 10
61 f1ocnvfv2 6183 . . . . . . . . . 10
6218, 60, 61sylancr 663 . . . . . . . . 9
6362oveq1d 6311 . . . . . . . 8
6458, 63eqtrd 2498 . . . . . . 7
65 f1ocnvfv 6184 . . . . . . 7
6656, 64, 65sylc 60 . . . . . 6
6766adantr 465 . . . . 5
68 df-suc 4889 . . . . 5
6967, 68syl6eq 2514 . . . 4
7044, 53, 693brtr4d 4482 . . 3
7170ex 434 . 2
723, 6, 9, 12, 24, 71nn0ind 10984 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  Ordword 4882  succsuc 4885  `'ccnv 5003  |`cres 5006  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700  reccrdg 7094   cen 7533  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmin 9828   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701
This theorem is referenced by:  fzen2  12079  cardfz  12080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702
  Copyright terms: Public domain W3C validator