MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzfi Unicode version

Theorem fzfi 12082
Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzfi

Proof of Theorem fzfi
StepHypRef Expression
1 0fin 7767 . . 3
2 eleq1 2529 . . 3
31, 2mpbiri 233 . 2
4 fzn0 11729 . . 3
5 onfin2 7729 . . . . . 6
6 inss2 3718 . . . . . 6
75, 6eqsstri 3533 . . . . 5
8 eqid 2457 . . . . . . 7
98hashgf1o 12081 . . . . . 6
10 peano2uz 11163 . . . . . . 7
11 uznn0sub 11141 . . . . . . 7
1210, 11syl 16 . . . . . 6
13 f1ocnvdm 6188 . . . . . 6
149, 12, 13sylancr 663 . . . . 5
157, 14sseldi 3501 . . . 4
168fzen2 12079 . . . 4
17 enfii 7757 . . . 4
1815, 16, 17syl2anc 661 . . 3
194, 18sylbi 195 . 2
203, 19pm2.61ine 2770 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  i^icin 3474   c0 3784   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   con0 4883  `'ccnv 5003  |`cres 5006  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700  reccrdg 7094   cen 7533   cfn 7536  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmin 9828   cn0 10820   cuz 11110   cfz 11701
This theorem is referenced by:  fzfid  12083  fzofi  12084  fsequb  12085  fsequb2  12086  fseqsupcl  12087  ssnn0fi  12094  seqf1o  12148  hashdom  12447  fzsdom2  12486  hashfzdm  12498  seqcoll2  12513  caubnd  13191  limsupgre  13304  fz1f1o  13532  summolem3  13536  summolem2  13538  zsum  13540  prodmolem3  13740  prodmolem2  13742  zprod  13744  phicl2  14298  phibnd  14301  hashdvds  14305  phiprmpw  14306  eulerth  14313  pcfac  14418  prmreclem2  14435  prmreclem3  14436  prmreclem4  14437  prmreclem5  14438  prmrec  14440  1arith  14445  vdwlem6  14504  vdwlem10  14508  vdwlem12  14510  isstruct2  14641  gsumval3OLD  16908  gsumval3lem1  16909  gsumval3lem2  16910  gsumval3  16911  coe1mul2  18310  ovoliunlem2  21914  uniioombllem6  21997  itg0  22186  itgz  22187  coemullem  22647  aannenlem1  22724  aannenlem2  22725  birthdaylem1  23281  birthdaylem2  23282  wilthlem2  23343  wilthlem3  23344  ftalem5  23350  ppifi  23379  prmdvdsfi  23381  chtdif  23432  ppidif  23437  chp1  23441  ppiltx  23451  prmorcht  23452  mumul  23455  sqff1o  23456  ppiub  23479  pclogsum  23490  logexprlim  23500  lgseisenlem2  23625  axlowdimlem16  24260  wlks  24519  wlkres  24522  trls  24538  crcts  24622  cycls  24623  konigsberg  24987  esumpcvgval  28084  esumcvg  28092  oddpwdc  28293  eulerpartlemb  28307  ballotlem1  28425  ballotlem2  28427  ballotlemfelz  28429  ballotlemfp1  28430  ballotlemfc0  28431  ballotlemfcc  28432  ballotlemfmpn  28433  ballotlemiex  28440  ballotlemsup  28443  ballotlemfg  28464  ballotlemfrc  28465  ballotlemfrceq  28467  ballotth  28476  plymulx0  28504  subfacf  28619  subfacp1lem1  28623  subfacp1lem3  28626  subfacp1lem5  28628  subfacp1lem6  28629  erdszelem2  28636  erdszelem10  28644  cvmliftlem15  28743  risefallfac  29146  bpolylem  29810  mblfinlem2  30052  volsupnfl  30059  itg2addnclem2  30067  nnubfi  30243  nninfnub  30244  cntotbnd  30292  eldioph2lem1  30693  eldioph2lem2  30694  eldioph2  30695  pellexlem5  30769  pellex  30771  jm2.22  30937  jm2.23  30938  hbt  31079  phisum  31159  fzisoeu  31500  sumnnodd  31636  stoweidlem37  31819  stoweidlem44  31826  stoweidlem59  31841  fourierdlem37  31926  fourierdlem103  31992  fourierdlem104  31993  etransclem16  32033  etransclem24  32041  etransclem25  32042  etransclem33  32050  etransclem35  32052  etransclem44  32061  etransclem45  32062  aacllem  33216  rp-isfinite4  37742  rp-isfinite6  37744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702
  Copyright terms: Public domain W3C validator