MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fznn0sub2 Unicode version

Theorem fznn0sub2 11137
Description: Subtraction closure for a member of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fznn0sub2

Proof of Theorem fznn0sub2
StepHypRef Expression
1 elfzle1 11111 . . 3
2 elfzel2 11108 . . . 4
3 elfzelz 11110 . . . 4
4 zre 10337 . . . . 5
5 zre 10337 . . . . 5
6 subge02 9594 . . . . 5
74, 5, 6syl2an 465 . . . 4
82, 3, 7syl2anc 644 . . 3
91, 8mpbid 203 . 2
10 fznn0sub 11136 . . . 4
11 nn0uz 10571 . . . 4
1210, 11syl6eleq 2533 . . 3
13 elfz5 11102 . . 3
1412, 2, 13syl2anc 644 . 2
159, 14mpbird 225 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  e.wcel 1728   class class class wbr 4243  `cfv 5501  (class class class)co 6129   cr 9040  0cc0 9041   cle 9172   cmin 9342   cn0 10272   cz 10333   cuz 10539   cfz 11094
This theorem is referenced by:  bccmpl  11651  revcl  11844  revlen  11845  revccat  11849  revrev  11850  revco  11854  fsum0diag2  12617  mertenslem1  12712  taylthlem2  20341  birthdaylem2  20842  basellem3  20916  2cshwid  28456  3cshw  28467  cshweqdif2  28468  cshwssizelem4a  28481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742  ax-cnex 9097  ax-resscn 9098  ax-1cn 9099  ax-icn 9100  ax-addcl 9101  ax-addrcl 9102  ax-mulcl 9103  ax-mulrcl 9104  ax-mulcom 9105  ax-addass 9106  ax-mulass 9107  ax-distr 9108  ax-i2m1 9109  ax-1ne0 9110  ax-1rid 9111  ax-rnegex 9112  ax-rrecex 9113  ax-cnre 9114  ax-pre-lttri 9115  ax-pre-lttrn 9116  ax-pre-ltadd 9117  ax-pre-mulgt0 9118
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-tp 3849  df-op 3850  df-uni 4044  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-tr 4337  df-eprel 4535  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-fr 4582  df-we 4584  df-ord 4625  df-on 4626  df-lim 4627  df-suc 4628  df-om 4887  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-ov 6132  df-oprab 6133  df-mpt2 6134  df-1st 6399  df-2nd 6400  df-riota 6599  df-recs 6682  df-rdg 6717  df-er 6954  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161  df-pnf 9173  df-mnf 9174  df-xr 9175  df-ltxr 9176  df-le 9177  df-sub 9344  df-neg 9345  df-nn 10052  df-n0 10273  df-z 10334  df-uz 10540  df-fz 11095
  Copyright terms: Public domain W3C validator