MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo1fzo0n0 Unicode version

Theorem fzo1fzo0n0 11864
Description: An integer between 1 and an upper bound of a half-open integer range is not 0 and between 0 and the upper bound of the half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzo1fzo0n0

Proof of Theorem fzo1fzo0n0
StepHypRef Expression
1 elfzo2 11832 . . 3
2 elnnuz 11146 . . . . . . 7
3 nnnn0 10827 . . . . . . . . . . 11
43adantr 465 . . . . . . . . . 10
54adantr 465 . . . . . . . . 9
6 nngt0 10590 . . . . . . . . . . 11
7 0red 9618 . . . . . . . . . . . . . . 15
8 nnre 10568 . . . . . . . . . . . . . . . 16
98adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
10 zre 10893 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
12 lttr 9682 . . . . . . . . . . . . . . 15
137, 9, 11, 12syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14
14 elnnz 10899 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1514simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . . . 15
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
1713, 16syld 44 . . . . . . . . . . . . 13
1817exp4b 607 . . . . . . . . . . . 12
1918com13 80 . . . . . . . . . . 11
206, 19mpcom 36 . . . . . . . . . 10
2120imp31 432 . . . . . . . . 9
22 simpr 461 . . . . . . . . 9
235, 21, 223jca 1176 . . . . . . . 8
2423exp31 604 . . . . . . 7
252, 24sylbir 213 . . . . . 6
26253imp 1190 . . . . 5
27 elfzo0 11863 . . . . 5
2826, 27sylibr 212 . . . 4
29 nnne0 10593 . . . . . 6
302, 29sylbir 213 . . . . 5
31303ad2ant1 1017 . . . 4
3228, 31jca 532 . . 3
331, 32sylbi 195 . 2
34 elnnne0 10834 . . . . . 6
35 nnge1 10587 . . . . . 6
3634, 35sylbir 213 . . . . 5
37363ad2antl1 1158 . . . 4
38 simpl3 1001 . . . 4
39 nn0z 10912 . . . . . . . . 9
4039adantr 465 . . . . . . . 8
41 1zzd 10920 . . . . . . . 8
42 nnz 10911 . . . . . . . . 9
4342adantl 466 . . . . . . . 8
4440, 41, 433jca 1176 . . . . . . 7
45443adant3 1016 . . . . . 6
4645adantr 465 . . . . 5
47 elfzo 11831 . . . . 5
4846, 47syl 16 . . . 4
4937, 38, 48mpbir2and 922 . . 3
5027, 49sylanb 472 . 2
5133, 50impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   clt 9649   cle 9650   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfzo 11824
This theorem is referenced by:  modprmn0modprm0  14332  clwwisshclww  24807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825
  Copyright terms: Public domain W3C validator