MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdaddmlem Unicode version

Theorem gcdaddmlem 14166
Description: Lemma for gcdaddm 14167. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
gcdaddmlem.1
gcdaddmlem.2
gcdaddmlem.3
Assertion
Ref Expression
gcdaddmlem

Proof of Theorem gcdaddmlem
StepHypRef Expression
1 gcdaddmlem.2 . . . . . . 7
2 gcdaddmlem.3 . . . . . . 7
3 gcddvds 14153 . . . . . . 7
41, 2, 3mp2an 672 . . . . . 6
54simpli 458 . . . . 5
6 gcdcl 14155 . . . . . . . . . 10
71, 2, 6mp2an 672 . . . . . . . . 9
87nn0zi 10914 . . . . . . . 8
9 gcdaddmlem.1 . . . . . . . . 9
10 1z 10919 . . . . . . . . 9
11 dvds2ln 14014 . . . . . . . . 9
129, 10, 11mpanl12 682 . . . . . . . 8
138, 1, 2, 12mp3an 1324 . . . . . . 7
144, 13ax-mp 5 . . . . . 6
15 zcn 10894 . . . . . . . . 9
162, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8
1716mulid2i 9620 . . . . . . 7
1817oveq2i 6307 . . . . . 6
1914, 18breqtri 4475 . . . . 5
20 zmulcl 10937 . . . . . . . 8
219, 1, 20mp2an 672 . . . . . . 7
22 zaddcl 10929 . . . . . . 7
2321, 2, 22mp2an 672 . . . . . 6
24 dvdslegcd 14154 . . . . . . 7
2524ex 434 . . . . . 6
268, 1, 23, 25mp3an 1324 . . . . 5
275, 19, 26mp2ani 678 . . . 4
28 gcddvds 14153 . . . . . . 7
291, 23, 28mp2an 672 . . . . . 6
3029simpli 458 . . . . 5
31 gcdcl 14155 . . . . . . . . . 10
321, 23, 31mp2an 672 . . . . . . . . 9
3332nn0zi 10914 . . . . . . . 8
34 znegcl 10924 . . . . . . . . . 10
359, 34ax-mp 5 . . . . . . . . 9
36 dvds2ln 14014 . . . . . . . . 9
3735, 10, 36mpanl12 682 . . . . . . . 8
3833, 1, 23, 37mp3an 1324 . . . . . . 7
3929, 38ax-mp 5 . . . . . 6
40 zcn 10894 . . . . . . . . . 10
419, 40ax-mp 5 . . . . . . . . 9
42 zcn 10894 . . . . . . . . . 10
431, 42ax-mp 5 . . . . . . . . 9
4441, 43mulneg1i 10027 . . . . . . . 8
45 zcn 10894 . . . . . . . . . 10
4623, 45ax-mp 5 . . . . . . . . 9
4746mulid2i 9620 . . . . . . . 8
4844, 47oveq12i 6308 . . . . . . 7
4941, 43mulcli 9622 . . . . . . . . . 10
5049negcli 9910 . . . . . . . . . 10
5149negidi 9911 . . . . . . . . . 10
5249, 50, 51addcomli 9793 . . . . . . . . 9
5352oveq1i 6306 . . . . . . . 8
5450, 49, 16addassi 9625 . . . . . . . 8
5516addid2i 9789 . . . . . . . 8
5653, 54, 553eqtr3i 2494 . . . . . . 7
5748, 56eqtri 2486 . . . . . 6
5839, 57breqtri 4475 . . . . 5
59 dvdslegcd 14154 . . . . . . 7
6059ex 434 . . . . . 6
6133, 1, 2, 60mp3an 1324 . . . . 5
6230, 58, 61mp2ani 678 . . . 4
6327, 62anim12i 566 . . 3
648zrei 10895 . . . 4
6533zrei 10895 . . . 4
6664, 65letri3i 9721 . . 3
6763, 66sylibr 212 . 2
68 pm4.57 497 . . 3
69 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
7041mul01i 9791 . . . . . . . . . 10
7169, 70syl6eq 2514 . . . . . . . . 9
7271oveq1d 6311 . . . . . . . 8
7372, 55syl6eq 2514 . . . . . . 7
7473eqeq1d 2459 . . . . . 6
7574pm5.32i 637 . . . . 5
76 oveq12 6305 . . . . . 6
77 oveq12 6305 . . . . . . 7
7875, 77sylbir 213 . . . . . 6
7976, 78eqtr4d 2501 . . . . 5
8075, 79sylbi 195 . . . 4
8180, 79jaoi 379 . . 3
8268, 81sylbi 195 . 2
8367, 82pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cle 9650  -ucneg 9829   cn0 10820   cz 10889   cdvds 13986   cgcd 14144
This theorem is referenced by:  gcdaddm  14167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145
  Copyright terms: Public domain W3C validator