MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdcllem1 Unicode version

Theorem gcdcllem1 14149
Description: Lemma for gcdn0cl 14152, gcddvds 14153 and dvdslegcd 14154. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
gcdcllem1.1
Assertion
Ref Expression
gcdcllem1
Distinct variable groups:   , , , ,   ,S

Proof of Theorem gcdcllem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10919 . . . . 5
2 ssel 3497 . . . . . . 7
3 1dvds 13998 . . . . . . 7
42, 3syl6 33 . . . . . 6
54ralrimiv 2869 . . . . 5
6 breq1 4455 . . . . . . . 8
76ralbidv 2896 . . . . . . 7
8 gcdcllem1.1 . . . . . . 7
97, 8elrab2 3259 . . . . . 6
109biimpri 206 . . . . 5
111, 5, 10sylancr 663 . . . 4
12 ne0i 3790 . . . 4
1311, 12syl 16 . . 3
1413adantr 465 . 2
15 neeq1 2738 . . . 4
1615cbvrexv 3085 . . 3
17 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . 13
1817ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . 12
1918, 8elrab2 3259 . . . . . . . . . . 11
2019simprbi 464 . . . . . . . . . 10
2120adantl 466 . . . . . . . . 9
2219simplbi 460 . . . . . . . . . 10
23 ssel2 3498 . . . . . . . . . . . . . . 15
24 dvdsleabs 14032 . . . . . . . . . . . . . . . 16
25243expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . 15
2623, 25sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14
2726anassrs 648 . . . . . . . . . . . . 13
2827com23 78 . . . . . . . . . . . 12
2928ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . 11
3029ancoms 453 . . . . . . . . . 10
3122, 30sylan2 474 . . . . . . . . 9
32 r19.26 2984 . . . . . . . . . 10
33 pm3.35 587 . . . . . . . . . . 11
3433ralimi 2850 . . . . . . . . . 10
3532, 34sylbir 213 . . . . . . . . 9
3621, 31, 35syl2anc 661 . . . . . . . 8
3736ralrimiva 2871 . . . . . . 7
38 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
3938breq2d 4464 . . . . . . . . . . 11
4015, 39imbi12d 320 . . . . . . . . . 10
4140cbvralv 3084 . . . . . . . . 9
4241ralbii 2888 . . . . . . . 8
43 ralcom 3018 . . . . . . . 8
44 r19.21v 2862 . . . . . . . . 9
4544ralbii 2888 . . . . . . . 8
4642, 43, 453bitri 271 . . . . . . 7
4737, 46sylib 196 . . . . . 6
48 ssel2 3498 . . . . . . . . . . 11
49 nn0abscl 13145 . . . . . . . . . . 11
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . 10
5150nn0zd 10992 . . . . . . . . 9
52 breq2 4456 . . . . . . . . . . 11
5352ralbidv 2896 . . . . . . . . . 10
5453adantl 466 . . . . . . . . 9
5551, 54rspcedv 3214 . . . . . . . 8
5655imim2d 52 . . . . . . 7
5756ralimdva 2865 . . . . . 6
5847, 57mpd 15 . . . . 5
59 r19.23v 2937 . . . . 5
6058, 59sylib 196 . . . 4
6160imp 429 . . 3
6216, 61sylan2b 475 . 2
6314, 62jca 532 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  `cfv 5593  0cc0 9513  1c1 9514   cle 9650   cn0 10820   cz 10889   cabs 13067   cdvds 13986
This theorem is referenced by:  gcdcllem3  14151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987
  Copyright terms: Public domain W3C validator