MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdcllem3 Unicode version

Theorem gcdcllem3 14151
Description: Lemma for gcdn0cl 14152, gcddvds 14153 and dvdslegcd 14154. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
gcdcllem2.1
gcdcllem2.2
Assertion
Ref Expression
gcdcllem3
Distinct variable groups:   ,   , ,M   ,N,

Proof of Theorem gcdcllem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gcdcllem2.2 . . . . 5
2 ssrab2 3584 . . . . 5
31, 2eqsstri 3533 . . . 4
4 prssi 4186 . . . . . . . 8
54adantr 465 . . . . . . 7
6 neorian 2784 . . . . . . . 8
7 prid1g 4136 . . . . . . . . . . 11
8 neeq1 2738 . . . . . . . . . . . 12
98rspcev 3210 . . . . . . . . . . 11
107, 9sylan 471 . . . . . . . . . 10
1110adantlr 714 . . . . . . . . 9
12 prid2g 4137 . . . . . . . . . . 11
13 neeq1 2738 . . . . . . . . . . . 12
1413rspcev 3210 . . . . . . . . . . 11
1512, 14sylan 471 . . . . . . . . . 10
1615adantll 713 . . . . . . . . 9
1711, 16jaodan 785 . . . . . . . 8
186, 17sylan2br 476 . . . . . . 7
19 gcdcllem2.1 . . . . . . . 8
2019gcdcllem1 14149 . . . . . . 7
215, 18, 20syl2anc 661 . . . . . 6
2219, 1gcdcllem2 14150 . . . . . . . 8
23 neeq1 2738 . . . . . . . . 9
24 raleq 3054 . . . . . . . . . 10
2524rexbidv 2968 . . . . . . . . 9
2623, 25anbi12d 710 . . . . . . . 8
2722, 26syl 16 . . . . . . 7
2827adantr 465 . . . . . 6
2921, 28mpbird 232 . . . . 5
30 suprzcl2 11201 . . . . . 6
313, 30mp3an1 1311 . . . . 5
3229, 31syl 16 . . . 4
333, 32sseldi 3501 . . 3
343a1i 11 . . . 4
3529simprd 463 . . . 4
36 1dvds 13998 . . . . . . 7
37 1dvds 13998 . . . . . . 7
3836, 37anim12i 566 . . . . . 6
39 1z 10919 . . . . . . 7
40 breq1 4455 . . . . . . . . 9
41 breq1 4455 . . . . . . . . 9
4240, 41anbi12d 710 . . . . . . . 8
4342, 1elrab2 3259 . . . . . . 7
4439, 43mpbiran 918 . . . . . 6
4538, 44sylibr 212 . . . . 5
4645adantr 465 . . . 4
47 suprzub 11202 . . . 4
4834, 35, 46, 47syl3anc 1228 . . 3
49 elnnz1 10915 . . 3
5033, 48, 49sylanbrc 664 . 2
51 breq1 4455 . . . . . 6
52 breq1 4455 . . . . . 6
5351, 52anbi12d 710 . . . . 5
54 breq1 4455 . . . . . . . 8
55 breq1 4455 . . . . . . . 8
5654, 55anbi12d 710 . . . . . . 7
5756cbvrabv 3108 . . . . . 6
581, 57eqtri 2486 . . . . 5
5953, 58elrab2 3259 . . . 4
6032, 59sylib 196 . . 3
6160simprd 463 . 2
62 breq1 4455 . . . . . . 7
63 breq1 4455 . . . . . . 7
6462, 63anbi12d 710 . . . . . 6
6564, 1elrab2 3259 . . . . 5
6665biimpri 206 . . . 4
67663impb 1192 . . 3
68 suprzub 11202 . . . . 5
69683expia 1198 . . . 4
703, 69mpan 670 . . 3
7135, 67, 70syl2im 38 . 2
7250, 61, 713jca 1176 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475   c0 3784  {cpr 4031   class class class wbr 4452  supcsup 7920   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   clt 9649   cle 9650   cn 10561   cz 10889   cdvds 13986
This theorem is referenced by:  gcdn0cl  14152  gcddvds  14153  dvdslegcd  14154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987
  Copyright terms: Public domain W3C validator