MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcddiv Unicode version

Theorem gcddiv 14187
Description: Division law for GCD. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
gcddiv

Proof of Theorem gcddiv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnz 10911 . . . . . . 7
213ad2ant3 1019 . . . . . 6
3 simp1 996 . . . . . 6
4 divides 13988 . . . . . 6
52, 3, 4syl2anc 661 . . . . 5
6 simp2 997 . . . . . 6
7 divides 13988 . . . . . 6
82, 6, 7syl2anc 661 . . . . 5
95, 8anbi12d 710 . . . 4
10 reeanv 3025 . . . 4
119, 10syl6bbr 263 . . 3
12 gcdcl 14155 . . . . . . . . . . . 12
1312nn0cnd 10879 . . . . . . . . . . 11
14133adant3 1016 . . . . . . . . . 10
15 nncn 10569 . . . . . . . . . . 11
16153ad2ant3 1019 . . . . . . . . . 10
17 nnne0 10593 . . . . . . . . . . 11
18173ad2ant3 1019 . . . . . . . . . 10
1914, 16, 18divcan4d 10351 . . . . . . . . 9
20 nnnn0 10827 . . . . . . . . . . 11
21 mulgcdr 14186 . . . . . . . . . . 11
2220, 21syl3an3 1263 . . . . . . . . . 10
2322oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
24 zcn 10894 . . . . . . . . . . . 12
25243ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11
2625, 16, 18divcan4d 10351 . . . . . . . . . 10
27 zcn 10894 . . . . . . . . . . . 12
28273ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . 11
2928, 16, 18divcan4d 10351 . . . . . . . . . 10
3026, 29oveq12d 6314 . . . . . . . . 9
3119, 23, 303eqtr4d 2508 . . . . . . . 8
32 oveq12 6305 . . . . . . . . . 10
3332oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
34 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
35 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
3634, 35oveqan12d 6315 . . . . . . . . 9
3733, 36eqeq12d 2479 . . . . . . . 8
3831, 37syl5ibcom 220 . . . . . . 7
39383expa 1196 . . . . . 6
4039expcom 435 . . . . 5
4140rexlimdvv 2955 . . . 4
42413ad2ant3 1019 . . 3
4311, 42sylbid 215 . 2
4443imp 429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513   cmul 9518   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cdvds 13986   cgcd 14144
This theorem is referenced by:  sqgcd  14196  divgcdodd  14260  divnumden  14281  pythagtriplem19  14357  hashgcdlem  31157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145
  Copyright terms: Public domain W3C validator