Theorem gcdmultiple 14188

Description: The GCD of a multiple of a number is the number itself. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcdmultiple

Proof of Theorem gcdmultiple

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6304	. . . . . 6
2	1	oveq2d 6312	. . . . 5
3	2	eqeq1d 2459	. . . 4
4	3	imbi2d 316	. . 3
5		oveq2 6304	. . . . . 6
6	5	oveq2d 6312	. . . . 5
7	6	eqeq1d 2459	. . . 4
8	7	imbi2d 316	. . 3
9		oveq2 6304	. . . . . 6
10	9	oveq2d 6312	. . . . 5
11	10	eqeq1d 2459	. . . 4
12	11	imbi2d 316	. . 3
13		oveq2 6304	. . . . . 6
14	13	oveq2d 6312	. . . . 5
15	14	eqeq1d 2459	. . . 4
16	15	imbi2d 316	. . 3
17		nncn 10569	. . . . . 6
18	17	mulid1d 9634	. . . . 5
19	18	oveq2d 6312	. . . 4
20		nnz 10911	. . . . . 6
21		gcdid 14169	. . . . . 6
22	20, 21	syl 16	. . . . 5
23		nnre 10568	. . . . . 6
24		nnnn0 10827	. . . . . . 7
25	24	nn0ge0d 10880	. . . . . 6
26	23, 25	absidd 13254	. . . . 5
27	22, 26	eqtrd 2498	. . . 4
28	19, 27	eqtrd 2498	. . 3
29	20	adantr 465	. . . . . . . . 9
30		nnz 10911	. . . . . . . . . 10
31		zmulcl 10937	. . . . . . . . . 10
32	20, 30, 31	syl2an 477	. . . . . . . . 9
33		1z 10919	. . . . . . . . . 10
34		gcdaddm 14167	. . . . . . . . . 10
35	33, 34	mp3an1 1311	. . . . . . . . 9
36	29, 32, 35	syl2anc 661	. . . . . . . 8
37		nncn 10569	. . . . . . . . . 10
38		ax-1cn 9571	. . . . . . . . . . . 12
39		adddi 9602	. . . . . . . . . . . 12
40	38, 39	mp3an3 1313	. . . . . . . . . . 11
41		mulcom 9599	. . . . . . . . . . . . . 14
42	38, 41	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . 13
43	42	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
44	43	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . 11
45	40, 44	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10
46	17, 37, 45	syl2an 477	. . . . . . . . 9
47	46	oveq2d 6312	. . . . . . . 8
48	36, 47	eqtr4d 2501	. . . . . . 7
49	48	eqeq1d 2459	. . . . . 6
50	49	biimpd 207	. . . . 5
51	50	expcom 435	. . . 4
52	51	a2d 26	. . 3
53	4, 8, 12, 16, 28, 52	nnind 10579	. 2
54	53	impcom 430	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  cn 10561  cz 10889  cabs 13067  cgcd 14144

This theorem is referenced by:  gcdmultiplez  14189  rpmulgcd  14193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145