MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdmultiple Unicode version

Theorem gcdmultiple 14188
Description: The GCD of a multiple of a number is the number itself. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
gcdmultiple

Proof of Theorem gcdmultiple
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . . 6
21oveq2d 6312 . . . . 5
32eqeq1d 2459 . . . 4
43imbi2d 316 . . 3
5 oveq2 6304 . . . . . 6
65oveq2d 6312 . . . . 5
76eqeq1d 2459 . . . 4
87imbi2d 316 . . 3
9 oveq2 6304 . . . . . 6
109oveq2d 6312 . . . . 5
1110eqeq1d 2459 . . . 4
1211imbi2d 316 . . 3
13 oveq2 6304 . . . . . 6
1413oveq2d 6312 . . . . 5
1514eqeq1d 2459 . . . 4
1615imbi2d 316 . . 3
17 nncn 10569 . . . . . 6
1817mulid1d 9634 . . . . 5
1918oveq2d 6312 . . . 4
20 nnz 10911 . . . . . 6
21 gcdid 14169 . . . . . 6
2220, 21syl 16 . . . . 5
23 nnre 10568 . . . . . 6
24 nnnn0 10827 . . . . . . 7
2524nn0ge0d 10880 . . . . . 6
2623, 25absidd 13254 . . . . 5
2722, 26eqtrd 2498 . . . 4
2819, 27eqtrd 2498 . . 3
2920adantr 465 . . . . . . . . 9
30 nnz 10911 . . . . . . . . . 10
31 zmulcl 10937 . . . . . . . . . 10
3220, 30, 31syl2an 477 . . . . . . . . 9
33 1z 10919 . . . . . . . . . 10
34 gcdaddm 14167 . . . . . . . . . 10
3533, 34mp3an1 1311 . . . . . . . . 9
3629, 32, 35syl2anc 661 . . . . . . . 8
37 nncn 10569 . . . . . . . . . 10
38 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . 12
39 adddi 9602 . . . . . . . . . . . 12
4038, 39mp3an3 1313 . . . . . . . . . . 11
41 mulcom 9599 . . . . . . . . . . . . . 14
4238, 41mpan2 671 . . . . . . . . . . . . 13
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
4443oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
4540, 44eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
4617, 37, 45syl2an 477 . . . . . . . . 9
4746oveq2d 6312 . . . . . . . 8
4836, 47eqtr4d 2501 . . . . . . 7
4948eqeq1d 2459 . . . . . 6
5049biimpd 207 . . . . 5
5150expcom 435 . . . 4
5251a2d 26 . . 3
534, 8, 12, 16, 28, 52nnind 10579 . 2
5453impcom 430 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cn 10561   cz 10889   cabs 13067   cgcd 14144
This theorem is referenced by:  gcdmultiplez  14189  rpmulgcd  14193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145
  Copyright terms: Public domain W3C validator