MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdneg Unicode version

Theorem gcdneg 14164
Description: Negating one operand of the operator does not alter the result. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcdneg

Proof of Theorem gcdneg
StepHypRef Expression
1 oveq12 6305 . . . . 5
21adantl 466 . . . 4
3 zcn 10894 . . . . . . . . 9
43negeq0d 9946 . . . . . . . 8
54anbi2d 703 . . . . . . 7
65adantl 466 . . . . . 6
7 oveq12 6305 . . . . . 6
86, 7syl6bi 228 . . . . 5
98imp 429 . . . 4
102, 9eqtr4d 2501 . . 3
11 gcddvds 14153 . . . . . . 7
12 gcdcl 14155 . . . . . . . . . 10
1312nn0zd 10992 . . . . . . . . 9
14 dvdsnegb 14001 . . . . . . . . 9
1513, 14sylancom 667 . . . . . . . 8
1615anbi2d 703 . . . . . . 7
1711, 16mpbid 210 . . . . . 6
186notbid 294 . . . . . . . 8
19 simpl 457 . . . . . . . . 9
20 znegcl 10924 . . . . . . . . . 10
2120adantl 466 . . . . . . . . 9
22 dvdslegcd 14154 . . . . . . . . . 10
2322ex 434 . . . . . . . . 9
2413, 19, 21, 23syl3anc 1228 . . . . . . . 8
2518, 24sylbid 215 . . . . . . 7
2625com12 31 . . . . . 6
2717, 26mpdi 42 . . . . 5
2827impcom 430 . . . 4
29 gcddvds 14153 . . . . . . . 8
3020, 29sylan2 474 . . . . . . 7
31 gcdcl 14155 . . . . . . . . . . 11
3231nn0zd 10992 . . . . . . . . . 10
3320, 32sylan2 474 . . . . . . . . 9
34 dvdsnegb 14001 . . . . . . . . 9
3533, 34sylancom 667 . . . . . . . 8
3635anbi2d 703 . . . . . . 7
3730, 36mpbird 232 . . . . . 6
38 simpr 461 . . . . . . . 8
39 dvdslegcd 14154 . . . . . . . . 9
4039ex 434 . . . . . . . 8
4133, 19, 38, 40syl3anc 1228 . . . . . . 7
4241com12 31 . . . . . 6
4337, 42mpdi 42 . . . . 5
4443impcom 430 . . . 4
4513zred 10994 . . . . . 6
4633zred 10994 . . . . . 6
4745, 46letri3d 9748 . . . . 5
4847adantr 465 . . . 4
4928, 44, 48mpbir2and 922 . . 3
5010, 49pm2.61dan 791 . 2
5150eqcomd 2465 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  0cc0 9513   cle 9650  -ucneg 9829   cz 10889   cdvds 13986   cgcd 14144
This theorem is referenced by:  neggcd  14165  gcdabs  14171  odinv  16583  divnumden2  27609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145
  Copyright terms: Public domain W3C validator