MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gch2 Unicode version

Theorem gch2 9074
Description: It is sufficient to require that all alephs are GCH-sets to ensure the full generalized continuum hypothesis. (The proof uses the Axiom of Regularity.) (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gch2

Proof of Theorem gch2
StepHypRef Expression
1 ssv 3523 . . 3
2 sseq2 3525 . . 3
31, 2mpbiri 233 . 2
4 cardidm 8361 . . . . . . . 8
5 iscard3 8495 . . . . . . . 8
64, 5mpbi 208 . . . . . . 7
7 elun 3644 . . . . . . 7
86, 7mpbi 208 . . . . . 6
9 fingch 9022 . . . . . . . . 9
10 nnfi 7730 . . . . . . . . 9
119, 10sseldi 3501 . . . . . . . 8
1211a1i 11 . . . . . . 7
13 ssel 3497 . . . . . . 7
1412, 13jaod 380 . . . . . 6
158, 14mpi 17 . . . . 5
16 vex 3112 . . . . . . 7
17 alephon 8471 . . . . . . . . . . 11
18 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
19 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13
20 alephfnon 8467 . . . . . . . . . . . . . 14
21 fnfvelrn 6028 . . . . . . . . . . . . . 14
2220, 18, 21sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
2319, 22sseldd 3504 . . . . . . . . . . . 12
24 suceloni 6648 . . . . . . . . . . . . . . 15
2524adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
26 fnfvelrn 6028 . . . . . . . . . . . . . 14
2720, 25, 26sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
2819, 27sseldd 3504 . . . . . . . . . . . 12
29 gchaleph2 9071 . . . . . . . . . . . 12
3018, 23, 28, 29syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
31 isnumi 8348 . . . . . . . . . . 11
3217, 30, 31sylancr 663 . . . . . . . . . 10
3332ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9
34 dfac12 8550 . . . . . . . . 9
3533, 34sylibr 212 . . . . . . . 8
36 dfac10 8538 . . . . . . . 8
3735, 36sylib 196 . . . . . . 7
3816, 37syl5eleqr 2552 . . . . . 6
39 cardid2 8355 . . . . . 6
40 engch 9027 . . . . . 6
4138, 39, 403syl 20 . . . . 5
4215, 41mpbid 210 . . . 4
4316a1i 11 . . . 4
4442, 432thd 240 . . 3
4544eqrdv 2454 . 2
463, 45impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  u.cun 3473  C_wss 3475  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452   con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  Fnwfn 5588  `cfv 5593   com 6700   cen 7533   cfn 7536   ccrd 8337   cale 8338   wac 8517   cgch 9019
This theorem is referenced by:  gch3  9075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-har 8005  df-wdom 8006  df-cnf 8100  df-r1 8203  df-rank 8204  df-card 8341  df-aleph 8342  df-ac 8518  df-cda 8569  df-fin4 8688  df-gch 9020
  Copyright terms: Public domain W3C validator