MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchaleph Unicode version

Theorem gchaleph 9070
Description: If is a GCH-set and its powerset is well-orderable, then the successor aleph is equinumerous to the powerset of . (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchaleph

Proof of Theorem gchaleph
StepHypRef Expression
1 alephsucpw2 8513 . . 3
2 alephon 8471 . . . . 5
3 onenon 8351 . . . . 5
42, 3ax-mp 5 . . . 4
5 simp3 998 . . . 4
6 domtri2 8391 . . . 4
74, 5, 6sylancr 663 . . 3
81, 7mpbiri 233 . 2
9 fvex 5881 . . . . . . 7
10 simp1 996 . . . . . . . 8
11 alephgeom 8484 . . . . . . . 8
1210, 11sylib 196 . . . . . . 7
13 ssdomg 7581 . . . . . . 7
149, 12, 13mpsyl 63 . . . . . 6
15 domnsym 7663 . . . . . 6
1614, 15syl 16 . . . . 5
17 isfinite 8090 . . . . 5
1816, 17sylnibr 305 . . . 4
19 simp2 997 . . . . 5
20 alephordilem1 8475 . . . . . 6
21203ad2ant1 1017 . . . . 5
22 gchi 9023 . . . . . 6
23223expia 1198 . . . . 5
2419, 21, 23syl2anc 661 . . . 4
2518, 24mtod 177 . . 3
26 domtri2 8391 . . . 4
275, 4, 26sylancl 662 . . 3
2825, 27mpbird 232 . 2
29 sbth 7657 . 2
308, 28, 29syl2anc 661 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\w3a 973  e.wcel 1818   cvv 3109  C_wss 3475  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452   con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  `cfv 5593   com 6700   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   cfn 7536   ccrd 8337   cale 8338   cgch 9019
This theorem is referenced by:  gchaleph2  9071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342  df-gch 9020
  Copyright terms: Public domain W3C validator