MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchaleph2 Unicode version

Theorem gchaleph2 9071
Description: If and are GCH-sets, then the successor aleph is equinumerous to the powerset of . (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchaleph2

Proof of Theorem gchaleph2
StepHypRef Expression
1 harcl 8008 . . 3
2 alephon 8471 . . . . 5
3 onenon 8351 . . . . 5
4 harsdom 8397 . . . . 5
52, 3, 4mp2b 10 . . . 4
6 simp1 996 . . . . . . 7
7 alephgeom 8484 . . . . . . 7
86, 7sylib 196 . . . . . 6
9 ssdomg 7581 . . . . . 6
102, 8, 9mpsyl 63 . . . . 5
11 simp2 997 . . . . 5
12 alephsuc 8470 . . . . . . 7
136, 12syl 16 . . . . . 6
14 simp3 998 . . . . . 6
1513, 14eqeltrrd 2546 . . . . 5
16 gchpwdom 9069 . . . . 5
1710, 11, 15, 16syl3anc 1228 . . . 4
185, 17mpbii 211 . . 3
19 ondomen 8439 . . 3
201, 18, 19sylancr 663 . 2
21 gchaleph 9070 . 2
2220, 21syld3an3 1273 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  C_wss 3475  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452   con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  `cfv 5593   com 6700   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   char 8003   ccrd 8337   cale 8338   cgch 9019
This theorem is referenced by:  gch2  9074  gch3  9075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-har 8005  df-wdom 8006  df-cnf 8100  df-card 8341  df-aleph 8342  df-cda 8569  df-fin4 8688  df-gch 9020
  Copyright terms: Public domain W3C validator