MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchdomtri Unicode version

Theorem gchdomtri 9028
Description: Under certain conditions, a GCH-set can demonstrate trichotomy of dominance. Lemma for gchac 9080. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchdomtri

Proof of Theorem gchdomtri
StepHypRef Expression
1 sdomdom 7563 . . . . 5
21con3i 135 . . . 4
3 reldom 7542 . . . . . . 7
43brrelexi 5045 . . . . . 6
543ad2ant3 1019 . . . . 5
6 fidomtri2 8396 . . . . 5
75, 6sylan 471 . . . 4
82, 7syl5ibr 221 . . 3
98orrd 378 . 2
10 simp1 996 . . . . 5
1110adantr 465 . . . 4
12 simpr 461 . . . 4
13 cdadom3 8589 . . . . . 6
1410, 5, 13syl2anc 661 . . . . 5
1514adantr 465 . . . 4
16 cdalepw 8597 . . . . . 6
17163adant1 1014 . . . . 5
1817adantr 465 . . . 4
19 gchor 9026 . . . 4
2011, 12, 15, 18, 19syl22anc 1229 . . 3
21 cdadom3 8589 . . . . . . . . 9
225, 10, 21syl2anc 661 . . . . . . . 8
23 cdacomen 8582 . . . . . . . 8
24 domentr 7594 . . . . . . . 8
2522, 23, 24sylancl 662 . . . . . . 7
26 domen2 7680 . . . . . . 7
2725, 26syl5ibrcom 222 . . . . . 6
2827imp 429 . . . . 5
2928olcd 393 . . . 4
30 simpl1 999 . . . . . . 7
31 canth2g 7691 . . . . . . 7
32 sdomdom 7563 . . . . . . 7
3330, 31, 323syl 20 . . . . . 6
34 simpl2 1000 . . . . . . . . 9
35 pwen 7710 . . . . . . . . 9
3634, 35syl 16 . . . . . . . 8
37 enen2 7678 . . . . . . . . 9
3837adantl 466 . . . . . . . 8
3936, 38mpbird 232 . . . . . . 7
40 endom 7562 . . . . . . 7
41 pwcdadom 8617 . . . . . . 7
4239, 40, 413syl 20 . . . . . 6
43 domtr 7588 . . . . . 6
4433, 42, 43syl2anc 661 . . . . 5
4544orcd 392 . . . 4
4629, 45jaodan 785 . . 3
4720, 46syldan 470 . 2
489, 47pm2.61dan 791 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  e.wcel 1818   cvv 3109  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   cfn 7536   ccda 8568   cgch 9019
This theorem is referenced by:  gchaclem  9077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-1o 7149  df-2o 7150  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-wdom 8006  df-card 8341  df-cda 8569  df-gch 9020
  Copyright terms: Public domain W3C validator