MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchhar Unicode version

Theorem gchhar 9078
Description: A "local" form of gchac 9080. If and are GCH-sets, then the Hartogs number of is (so and a fortiori are well-orderable). The proof is due to Specker. Theorem 2.1 of [KanamoriPincus] p. 419. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchhar

Proof of Theorem gchhar
StepHypRef Expression
1 harcl 8008 . . . 4
2 simp3 998 . . . 4
3 cdadom3 8589 . . . 4
41, 2, 3sylancr 663 . . 3
5 domnsym 7663 . . . . . . . . 9
653ad2ant1 1017 . . . . . . . 8
7 isfinite 8090 . . . . . . . 8
86, 7sylnibr 305 . . . . . . 7
9 pwfi 7835 . . . . . . 7
108, 9sylnib 304 . . . . . 6
11 cdadom3 8589 . . . . . . 7
122, 1, 11sylancl 662 . . . . . 6
13 ovex 6324 . . . . . . . 8
1413canth2 7690 . . . . . . 7
15 pwcdaen 8586 . . . . . . . . 9
162, 1, 15sylancl 662 . . . . . . . 8
17 pwexg 4636 . . . . . . . . . . 11
182, 17syl 16 . . . . . . . . . 10
19 simp2 997 . . . . . . . . . . 11
20 harwdom 8037 . . . . . . . . . . 11
21 wdompwdom 8025 . . . . . . . . . . 11
2219, 20, 213syl 20 . . . . . . . . . 10
23 xpdom2g 7633 . . . . . . . . . 10
2418, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . . 9
25 xpexg 6602 . . . . . . . . . . . . . 14
2619, 19, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
27 pwexg 4636 . . . . . . . . . . . . 13
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . 12
29 pwcdaen 8586 . . . . . . . . . . . 12
302, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
3130ensymd 7586 . . . . . . . . . 10
32 enrefg 7567 . . . . . . . . . . . . . 14
332, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
34 gchxpidm 9068 . . . . . . . . . . . . . . 15
3519, 8, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
36 pwen 7710 . . . . . . . . . . . . . 14
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
38 cdaen 8574 . . . . . . . . . . . . 13
3933, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
40 gchcdaidm 9067 . . . . . . . . . . . . 13
412, 10, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
42 entr 7587 . . . . . . . . . . . 12
4339, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
44 pwen 7710 . . . . . . . . . . 11
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . 10
46 entr 7587 . . . . . . . . . 10
4731, 45, 46syl2anc 661 . . . . . . . . 9
48 domentr 7594 . . . . . . . . 9
4924, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . . 8
50 endomtr 7593 . . . . . . . 8
5116, 49, 50syl2anc 661 . . . . . . 7
52 sdomdomtr 7670 . . . . . . 7
5314, 51, 52sylancr 663 . . . . . 6
54 gchen1 9024 . . . . . 6
552, 10, 12, 53, 54syl22anc 1229 . . . . 5
56 cdacomen 8582 . . . . 5
57 entr 7587 . . . . 5
5855, 56, 57sylancl 662 . . . 4
5958ensymd 7586 . . 3
60 domentr 7594 . . 3
614, 59, 60syl2anc 661 . 2
62 gchcdaidm 9067 . . . . . 6
6319, 8, 62syl2anc 661 . . . . 5
64 pwen 7710 . . . . 5
6563, 64syl 16 . . . 4
66 cdadom3 8589 . . . . . . . 8
6719, 1, 66sylancl 662 . . . . . . 7
68 harndom 8011 . . . . . . . 8
69 cdadom3 8589 . . . . . . . . . . 11
701, 19, 69sylancr 663 . . . . . . . . . 10
71 cdacomen 8582 . . . . . . . . . 10
72 domentr 7594 . . . . . . . . . 10
7370, 71, 72sylancl 662 . . . . . . . . 9
74 domen2 7680 . . . . . . . . 9
7573, 74syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8
7668, 75mtoi 178 . . . . . . 7
77 brsdom 7558 . . . . . . 7
7867, 76, 77sylanbrc 664 . . . . . 6
79 canth2g 7691 . . . . . . . . 9
80 sdomdom 7563 . . . . . . . . 9
81 cdadom1 8587 . . . . . . . . 9
8219, 79, 80, 814syl 21 . . . . . . . 8
83 cdadom2 8588 . . . . . . . . 9
8461, 83syl 16 . . . . . . . 8
85 domtr 7588 . . . . . . . 8
8682, 84, 85syl2anc 661 . . . . . . 7
87 domentr 7594 . . . . . . 7
8886, 41, 87syl2anc 661 . . . . . 6
89 gchen2 9025 . . . . . 6
9019, 8, 78, 88, 89syl22anc 1229 . . . . 5
9190ensymd 7586 . . . 4
92 entr 7587 . . . 4
9365, 91, 92syl2anc 661 . . 3
94 endom 7562 . . 3
95 pwcdadom 8617 . . 3
9693, 94, 953syl 20 . 2
97 sbth 7657 . 2
9861, 96, 97syl2anc 661 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\w3a 973  e.wcel 1818   cvv 3109  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452   con0 4883  X.cxp 5002  `cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   cfn 7536   char 8003   cwdom 8004   ccda 8568   cgch 9019
This theorem is referenced by:  gchacg  9079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-har 8005  df-wdom 8006  df-cnf 8100  df-card 8341  df-cda 8569  df-fin4 8688  df-gch 9020
  Copyright terms: Public domain W3C validator