MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchxpidm Unicode version

Theorem gchxpidm 9068
Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal product. Part of Lemma 2.2 of [KanamoriPincus] p. 419. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchxpidm

Proof of Theorem gchxpidm
StepHypRef Expression
1 0ex 4582 . . . . . . . 8
21a1i 11 . . . . . . 7
3 xpsneng 7622 . . . . . . 7
42, 3sylan2 474 . . . . . 6
54ensymd 7586 . . . . 5
6 df1o2 7161 . . . . . . 7
7 id 22 . . . . . . . . . . . 12
8 0fin 7767 . . . . . . . . . . . 12
97, 8syl6eqel 2553 . . . . . . . . . . 11
109necon3bi 2686 . . . . . . . . . 10
1110adantl 466 . . . . . . . . 9
12 0sdomg 7666 . . . . . . . . . 10
1312adantr 465 . . . . . . . . 9
1411, 13mpbird 232 . . . . . . . 8
15 0sdom1dom 7737 . . . . . . . 8
1614, 15sylib 196 . . . . . . 7
176, 16syl5eqbrr 4486 . . . . . 6
18 xpdom2g 7633 . . . . . 6
1917, 18syldan 470 . . . . 5
20 endomtr 7593 . . . . 5
215, 19, 20syl2anc 661 . . . 4
22 canth2g 7691 . . . . . . . . . 10
2322adantr 465 . . . . . . . . 9
24 sdomdom 7563 . . . . . . . . 9
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8
26 xpdom1g 7634 . . . . . . . 8
2725, 26syldan 470 . . . . . . 7
28 pwexg 4636 . . . . . . . . 9
2928adantr 465 . . . . . . . 8
30 xpdom2g 7633 . . . . . . . 8
3129, 25, 30syl2anc 661 . . . . . . 7
32 domtr 7588 . . . . . . 7
3327, 31, 32syl2anc 661 . . . . . 6
34 simpl 457 . . . . . . . . 9
35 pwcdaen 8586 . . . . . . . . 9
3634, 35syldan 470 . . . . . . . 8
3736ensymd 7586 . . . . . . 7
38 gchcdaidm 9067 . . . . . . . 8
39 pwen 7710 . . . . . . . 8
4038, 39syl 16 . . . . . . 7
41 entr 7587 . . . . . . 7
4237, 40, 41syl2anc 661 . . . . . 6
43 domentr 7594 . . . . . 6
4433, 42, 43syl2anc 661 . . . . 5
45 gchinf 9056 . . . . . . 7
46 pwxpndom 9065 . . . . . . 7
4745, 46syl 16 . . . . . 6
48 ensym 7584 . . . . . . 7
49 endom 7562 . . . . . . 7
5048, 49syl 16 . . . . . 6
5147, 50nsyl 121 . . . . 5
52 brsdom 7558 . . . . 5
5344, 51, 52sylanbrc 664 . . . 4
5421, 53jca 532 . . 3
55 gchen1 9024 . . 3
5654, 55mpdan 668 . 2
5756ensymd 7586 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  (class class class)co 6296   com 6700   c1o 7142   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   cfn 7536   ccda 8568   cgch 9019
This theorem is referenced by:  gchhar  9078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-har 8005  df-cnf 8100  df-card 8341  df-cda 8569  df-fin4 8688  df-gch 9020
  Copyright terms: Public domain W3C validator