MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpcl Unicode version

Theorem genpcl 9407
Description: Closure of an operation on reals. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1
genp.2
genpcl.3
genpcl.4
genpcl.5
Assertion
Ref Expression
genpcl
Distinct variable groups:   , , , , , ,   , , , , , , , ,   ,   , , , , , , ,   , ,   , ,   , ,   , , , , ,

Proof of Theorem genpcl
StepHypRef Expression
1 genp.1 . . . 4
2 genp.2 . . . 4
31, 2genpn0 9402 . . 3
41, 2genpss 9403 . . . 4
5 vex 3112 . . . . . 6
6 vex 3112 . . . . . 6
7 genpcl.3 . . . . . 6
85, 6, 7caovord 6486 . . . . 5
9 genpcl.4 . . . . 5
101, 2, 8, 9genpnnp 9404 . . . 4
11 dfpss2 3588 . . . 4
124, 10, 11sylanbrc 664 . . 3
13 genpcl.5 . . . . . . 7
141, 2, 13genpcd 9405 . . . . . 6
1514alrimdv 1721 . . . . 5
16 vex 3112 . . . . . . 7
17 vex 3112 . . . . . . 7
1816, 17, 7caovord 6486 . . . . . 6
1916, 17, 9caovcom 6472 . . . . . 6
201, 2, 18, 19genpnmax 9406 . . . . 5
2115, 20jcad 533 . . . 4
2221ralrimiv 2869 . . 3
233, 12, 22jca31 534 . 2
24 elnp 9386 . 2
2523, 24sylibr 212 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  C.wpss 3476   c0 3784   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   cnq 9251   cltq 9257   cnp 9258
This theorem is referenced by:  addclpr  9417  mulclpr  9419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-mi 9273  df-lti 9274  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-ltnq 9317  df-np 9380
  Copyright terms: Public domain W3C validator