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Theorem genpnnp 9404
Description: The result of an operation on positive reals is different from the set of positive fractions. (Contributed by NM, 29-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1
genp.2
genpnnp.3
genpnnp.4
Assertion
Ref Expression
genpnnp
Distinct variable groups:   , , ,   , , , , ,   ,   , , , ,   , ,   , ,   , ,

Proof of Theorem genpnnp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prpssnq 9389 . . . . 5
2 pssnel 3893 . . . . 5
31, 2syl 16 . . . 4
4 prpssnq 9389 . . . . 5
5 pssnel 3893 . . . . 5
64, 5syl 16 . . . 4
73, 6anim12i 566 . . 3
8 eeanv 1988 . . 3
97, 8sylibr 212 . 2
10 prub 9393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11 prub 9393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1210, 11im2anan9 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13 elprnq 9390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1413anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
15 elprnq 9390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1615anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17 ltsonq 9368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
18 so2nr 4829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1917, 18mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
21 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
22 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2321, 22anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2423ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
25 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
26 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
27 genpnnp.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
28 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
29 genpnnp.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
30 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3125, 26, 27, 28, 29, 30caovord3 6488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3231anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3324, 32sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3420, 33mtbid 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3534ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3635con2d 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3714, 16, 36syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3812, 37syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3938an4s 826 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4039ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15
4140an4s 826 . . . . . . . . . . . . . 14
4241ex 434 . . . . . . . . . . . . 13
4342com24 87 . . . . . . . . . . . 12
4443imp32 433 . . . . . . . . . . 11
4544ralrimivv 2877 . . . . . . . . . 10
46 ralnex 2903 . . . . . . . . . . . 12
4746ralbii 2888 . . . . . . . . . . 11
48 ralnex 2903 . . . . . . . . . . 11
4947, 48bitri 249 . . . . . . . . . 10
5045, 49sylib 196 . . . . . . . . 9
51 genp.1 . . . . . . . . . . 11
52 genp.2 . . . . . . . . . . 11
5351, 52genpelv 9399 . . . . . . . . . 10
5453adantr 465 . . . . . . . . 9
5550, 54mtbird 301 . . . . . . . 8
5655expcom 435 . . . . . . 7
5756ancoms 453 . . . . . 6
5857an4s 826 . . . . 5
5952caovcl 6469 . . . . . . 7
60 eleq2 2530 . . . . . . . . 9
6160biimprcd 225 . . . . . . . 8
6261con3d 133 . . . . . . 7
6359, 62syl 16 . . . . . 6
6463ad2ant2r 746 . . . . 5
6558, 64syld 44 . . . 4
6665com12 31 . . 3
6766exlimdvv 1725 . 2
689, 67mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808  C.wpss 3476   class class class wbr 4452  Orwor 4804  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   cnq 9251   cltq 9257   cnp 9258
This theorem is referenced by:  genpcl  9407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-mi 9273  df-lti 9274  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-ltnq 9317  df-np 9380
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