Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpv Unicode version

Theorem genpv 9398
 Description: Value of general operation (addition or multiplication) on positive reals. (Contributed by NM, 10-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1
genp.2
Assertion
Ref Expression
genpv
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,,,,   ,,

Proof of Theorem genpv
StepHypRef Expression
1 oveq1 6303 . . . 4
2 rexeq 3055 . . . . 5
32abbidv 2593 . . . 4
41, 3eqeq12d 2479 . . 3
5 oveq2 6304 . . . 4
6 rexeq 3055 . . . . . 6
76rexbidv 2968 . . . . 5
87abbidv 2593 . . . 4
95, 8eqeq12d 2479 . . 3
10 elprnq 9390 . . . . . . . . 9
11 elprnq 9390 . . . . . . . . 9
12 genp.2 . . . . . . . . . 10
13 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
1412, 13syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9
1510, 11, 14syl2an 477 . . . . . . . 8
1615an4s 826 . . . . . . 7
1716rexlimdvva 2956 . . . . . 6
1817abssdv 3573 . . . . 5
19 nqex 9322 . . . . 5
20 ssexg 4598 . . . . 5
2118, 19, 20sylancl 662 . . . 4
22 rexeq 3055 . . . . . 6
2322abbidv 2593 . . . . 5
24 rexeq 3055 . . . . . . 7
2524rexbidv 2968 . . . . . 6
2625abbidv 2593 . . . . 5
27 genp.1 . . . . 5
2823, 26, 27ovmpt2g 6437 . . . 4
2921, 28mpd3an3 1325 . . 3
304, 9, 29vtocl2ga 3175 . 2
31 eqeq1 2461 . . . . 5
32312rexbidv 2975 . . . 4
33 oveq1 6303 . . . . . 6
3433eqeq2d 2471 . . . . 5
35 oveq2 6304 . . . . . 6
3635eqeq2d 2471 . . . . 5
3734, 36cbvrex2v 3093 . . . 4
3832, 37syl6bb 261 . . 3
3938cbvabv 2600 . 2
4030, 39syl6eq 2514 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   cnq 9251   cnp 9258 This theorem is referenced by:  genpelv  9399  plpv  9409  mpv  9410 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-ni 9271  df-nq 9311  df-np 9380
 Copyright terms: Public domain W3C validator