Theorem geo2lim 13684

Description: The value of the infinite geometric series 2-u12-u2... , multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
geo2lim.1

Assertion

Ref	Expression
geo2lim

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem geo2lim

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11145	. . 3
2		1zzd 10920	. . 3
3		halfcn 10780	. . . . . . 7
4	3	a1i 11	. . . . . 6
5		halfre 10779	. . . . . . . . 9
6		0re 9617	. . . . . . . . . 10
7		halfgt0 10781	. . . . . . . . . 10
8	6, 5, 7	ltleii 9728	. . . . . . . . 9
9		absid 13129	. . . . . . . . 9
10	5, 8, 9	mp2an 672	. . . . . . . 8
11		halflt1 10782	. . . . . . . 8
12	10, 11	eqbrtri 4471	. . . . . . 7
13	12	a1i 11	. . . . . 6
14	4, 13	expcnv 13675	. . . . 5
15		id 22	. . . . 5
16		geo2lim.1	. . . . . . 7
17		nnex 10567	. . . . . . . 8
18	17	mptex 6143	. . . . . . 7
19	16, 18	eqeltri 2541	. . . . . 6
20	19	a1i 11	. . . . 5
21		nnnn0 10827	. . . . . . . . 9
22	21	adantl 466	. . . . . . . 8
23		oveq2 6304	. . . . . . . . 9
24		eqid 2457	. . . . . . . . 9
25		ovex 6324	. . . . . . . . 9
26	23, 24, 25	fvmpt 5956	. . . . . . . 8
27	22, 26	syl 16	. . . . . . 7
28		nnz 10911	. . . . . . . . 9
29	28	adantl 466	. . . . . . . 8
30		2cn 10631	. . . . . . . . 9
31		2ne0 10653	. . . . . . . . 9
32		exprec 12207	. . . . . . . . 9
33	30, 31, 32	mp3an12 1314	. . . . . . . 8
34	29, 33	syl 16	. . . . . . 7
35	27, 34	eqtrd 2498	. . . . . 6
36		2nn 10718	. . . . . . . . 9
37		nnexpcl 12179	. . . . . . . . 9
38	36, 22, 37	sylancr 663	. . . . . . . 8
39	38	nnrecred 10606	. . . . . . 7
40	39	recnd 9643	. . . . . 6
41	35, 40	eqeltrd 2545	. . . . 5
42		simpl 457	. . . . . . 7
43	38	nncnd 10577	. . . . . . 7
44	38	nnne0d 10605	. . . . . . 7
45	42, 43, 44	divrecd 10348	. . . . . 6
46		oveq2 6304	. . . . . . . . 9
47	46	oveq2d 6312	. . . . . . . 8
48		ovex 6324	. . . . . . . 8
49	47, 16, 48	fvmpt 5956	. . . . . . 7
50	49	adantl 466	. . . . . 6
51	35	oveq2d 6312	. . . . . 6
52	45, 50, 51	3eqtr4d 2508	. . . . 5
53	1, 2, 14, 15, 20, 41, 52	climmulc2 13459	. . . 4
54		mul01 9780	. . . 4
55	53, 54	breqtrd 4476	. . 3
56		seqex 12109	. . . 4
57	56	a1i 11	. . 3
58	42, 43, 44	divcld 10345	. . . 4
59	50, 58	eqeltrd 2545	. . 3
60	50	oveq2d 6312	. . . 4
61		geo2sum 13682	. . . . 5
62	61	ancoms 453	. . . 4
63		elfznn 11743	. . . . . . 7
64	63	adantl 466	. . . . . 6
65		oveq2 6304	. . . . . . . 8
66	65	oveq2d 6312	. . . . . . 7
67		ovex 6324	. . . . . . 7
68	66, 16, 67	fvmpt 5956	. . . . . 6
69	64, 68	syl 16	. . . . 5
70		simpr 461	. . . . . 6
71	70, 1	syl6eleq 2555	. . . . 5
72		simpll 753	. . . . . 6
73		nnnn0 10827	. . . . . . . . 9
74		nnexpcl 12179	. . . . . . . . 9
75	36, 73, 74	sylancr 663	. . . . . . . 8
76	64, 75	syl 16	. . . . . . 7
77	76	nncnd 10577	. . . . . 6
78	76	nnne0d 10605	. . . . . 6
79	72, 77, 78	divcld 10345	. . . . 5
80	69, 71, 79	fsumser 13552	. . . 4
81	60, 62, 80	3eqtr2rd 2505	. . 3
82	1, 2, 55, 15, 57, 59, 81	climsubc2 13461	. 2
83		subid1 9862	. 2
84	82, 83	breqtrd 4476	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  cvv 3109   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  cdiv 10231  cn 10561  2c2 10610  cn0 10820  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107  cexp 12166  cabs 13067  cli 13307  sum_csu 13508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509