MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geo2sum Unicode version

Theorem geo2sum 13491
Description: The value of the finite geometric series 2 -u1 2 -u2 ... 2 -uN, multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geo2sum
Distinct variable groups:   ,   ,N

Proof of Theorem geo2sum
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 10815 . . 3
2 nnz 10806 . . . 4
32adantr 465 . . 3
4 simplr 754 . . . 4
5 2nn 10617 . . . . . 6
6 elfznn 11623 . . . . . . . 8
76adantl 466 . . . . . . 7
87nnnn0d 10774 . . . . . 6
9 nnexpcl 12035 . . . . . 6
105, 8, 9sylancr 663 . . . . 5
1110nncnd 10476 . . . 4
1210nnne0d 10504 . . . 4
134, 11, 12divcld 10244 . . 3
14 oveq2 6230 . . . 4
1514oveq2d 6238 . . 3
161, 1, 3, 13, 15fsumshftm 13406 . 2
17 1m1e0 10528 . . . . 5
1817oveq1i 6232 . . . 4
1918sumeq1i 13333 . . 3
20 halfcn 10679 . . . . . . . . . 10
21 elfznn0 11626 . . . . . . . . . . 11
2221adantl 466 . . . . . . . . . 10
23 expcl 12040 . . . . . . . . . 10
2420, 22, 23sylancr 663 . . . . . . . . 9
25 2cnd 10532 . . . . . . . . 9
26 2ne0 10552 . . . . . . . . . 10
2726a1i 11 . . . . . . . . 9
2824, 25, 27divrecd 10247 . . . . . . . 8
29 expp1 12029 . . . . . . . . 9
3020, 22, 29sylancr 663 . . . . . . . 8
31 elfzelz 11598 . . . . . . . . . . 11
3231peano2zd 10888 . . . . . . . . . 10
3332adantl 466 . . . . . . . . 9
3425, 27, 33exprecd 12173 . . . . . . . 8
3528, 30, 343eqtr2rd 2502 . . . . . . 7
3635oveq2d 6238 . . . . . 6
37 simplr 754 . . . . . . 7
38 peano2nn0 10758 . . . . . . . . . 10
3922, 38syl 16 . . . . . . . . 9
40 nnexpcl 12035 . . . . . . . . 9
415, 39, 40sylancr 663 . . . . . . . 8
4241nncnd 10476 . . . . . . 7
4341nnne0d 10504 . . . . . . 7
4437, 42, 43divrecd 10247 . . . . . 6
4524, 37, 25, 27div12d 10280 . . . . . 6
4636, 44, 453eqtr4d 2505 . . . . 5
4746sumeq2dv 13338 . . . 4
48 fzfid 11940 . . . . 5
49 halfcl 10688 . . . . . 6
5049adantl 466 . . . . 5
5148, 50, 24fsummulc1 13410 . . . 4
5247, 51eqtr4d 2498 . . 3
5319, 52syl5eq 2507 . 2
54 2cnd 10532 . . . . . . . 8
5526a1i 11 . . . . . . . 8
5654, 55, 3exprecd 12173 . . . . . . 7
5756oveq2d 6238 . . . . . 6
58 1mhlfehlf 10682 . . . . . . 7
5958a1i 11 . . . . . 6
6057, 59oveq12d 6240 . . . . 5
61 simpr 461 . . . . . 6
6261, 54, 55divrec2d 10248 . . . . 5
6360, 62oveq12d 6240 . . . 4
64 ax-1cn 9477 . . . . . . 7
65 nnnn0 10724 . . . . . . . . . . 11
6665adantr 465 . . . . . . . . . 10
67 nnexpcl 12035 . . . . . . . . . 10
685, 66, 67sylancr 663 . . . . . . . . 9
6968nnrecred 10505 . . . . . . . 8
7069recnd 9549 . . . . . . 7
71 subcl 9746 . . . . . . 7
7264, 70, 71sylancr 663 . . . . . 6
7320a1i 11 . . . . . 6
74 0re 9523 . . . . . . . 8
75 halfgt0 10680 . . . . . . . 8
7674, 75gtneii 9623 . . . . . . 7
7776a1i 11 . . . . . 6
7872, 73, 77divcld 10244 . . . . 5
7978, 73, 61mulassd 9546 . . . 4
8072, 73, 77divcan1d 10245 . . . . 5
8180oveq1d 6237 . . . 4
8263, 79, 813eqtr2d 2501 . . 3
83 halfre 10678 . . . . . . 7
84 halflt1 10681 . . . . . . 7
8583, 84ltneii 9624 . . . . . 6
8685a1i 11 . . . . 5
8773, 86, 66geoser 13487 . . . 4
8887oveq1d 6237 . . 3
89 mulid2 9521 . . . . . . 7
9089adantl 466 . . . . . 6
9190eqcomd 2462 . . . . 5
9268nncnd 10476 . . . . . 6
9368nnne0d 10504 . . . . . 6
9461, 92, 93divrec2d 10248 . . . . 5
9591, 94oveq12d 6240 . . . 4
9664a1i 11 . . . . 5
9796, 70, 61subdird 9938 . . . 4
9895, 97eqtr4d 2498 . . 3
9982, 88, 983eqtr4d 2505 . 2
10016, 53, 993eqtrd 2499 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648  (class class class)co 6222   cc 9417  0cc0 9419  1c1 9420   caddc 9422   cmul 9424   cmin 9732   cdiv 10130   cn 10460  2c2 10509   cn0 10717   cz 10784   cfz 11582   cexp 12022  sum_csu 13321
This theorem is referenced by:  geo2lim  13493  ovollb2lem  21370  ovoliunlem1  21384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-oadd 7058  df-er 7235  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-sup 7827  df-oi 7861  df-card 8246  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-n0 10718  df-z 10785  df-uz 11001  df-rp 11131  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-seq 11964  df-exp 12023  df-hash 12261  df-cj 12746  df-re 12747  df-im 12748  df-sqr 12882  df-abs 12883  df-clim 13124  df-sum 13322
  Copyright terms: Public domain W3C validator