Theorem geo2sum 13491

Description: The value of the finite geometric series 2-u12-u2... 2-uN, multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
geo2sum

Distinct variable groups:   ,   ,N

Proof of Theorem geo2sum

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 10815	. . 3
2		nnz 10806	. . . 4
3	2	adantr 465	. . 3
4		simplr 754	. . . 4
5		2nn 10617	. . . . . 6
6		elfznn 11623	. . . . . . . 8
7	6	adantl 466	. . . . . . 7
8	7	nnnn0d 10774	. . . . . 6
9		nnexpcl 12035	. . . . . 6
10	5, 8, 9	sylancr 663	. . . . 5
11	10	nncnd 10476	. . . 4
12	10	nnne0d 10504	. . . 4
13	4, 11, 12	divcld 10244	. . 3
14		oveq2 6230	. . . 4
15	14	oveq2d 6238	. . 3
16	1, 1, 3, 13, 15	fsumshftm 13406	. 2
17		1m1e0 10528	. . . . 5
18	17	oveq1i 6232	. . . 4
19	18	sumeq1i 13333	. . 3
20		halfcn 10679	. . . . . . . . . 10
21		elfznn0 11626	. . . . . . . . . . 11
22	21	adantl 466	. . . . . . . . . 10
23		expcl 12040	. . . . . . . . . 10
24	20, 22, 23	sylancr 663	. . . . . . . . 9
25		2cnd 10532	. . . . . . . . 9
26		2ne0 10552	. . . . . . . . . 10
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9
28	24, 25, 27	divrecd 10247	. . . . . . . 8
29		expp1 12029	. . . . . . . . 9
30	20, 22, 29	sylancr 663	. . . . . . . 8
31		elfzelz 11598	. . . . . . . . . . 11
32	31	peano2zd 10888	. . . . . . . . . 10
33	32	adantl 466	. . . . . . . . 9
34	25, 27, 33	exprecd 12173	. . . . . . . 8
35	28, 30, 34	3eqtr2rd 2502	. . . . . . 7
36	35	oveq2d 6238	. . . . . 6
37		simplr 754	. . . . . . 7
38		peano2nn0 10758	. . . . . . . . . 10
39	22, 38	syl 16	. . . . . . . . 9
40		nnexpcl 12035	. . . . . . . . 9
41	5, 39, 40	sylancr 663	. . . . . . . 8
42	41	nncnd 10476	. . . . . . 7
43	41	nnne0d 10504	. . . . . . 7
44	37, 42, 43	divrecd 10247	. . . . . 6
45	24, 37, 25, 27	div12d 10280	. . . . . 6
46	36, 44, 45	3eqtr4d 2505	. . . . 5
47	46	sumeq2dv 13338	. . . 4
48		fzfid 11940	. . . . 5
49		halfcl 10688	. . . . . 6
50	49	adantl 466	. . . . 5
51	48, 50, 24	fsummulc1 13410	. . . 4
52	47, 51	eqtr4d 2498	. . 3
53	19, 52	syl5eq 2507	. 2
54		2cnd 10532	. . . . . . . 8
55	26	a1i 11	. . . . . . . 8
56	54, 55, 3	exprecd 12173	. . . . . . 7
57	56	oveq2d 6238	. . . . . 6
58		1mhlfehlf 10682	. . . . . . 7
59	58	a1i 11	. . . . . 6
60	57, 59	oveq12d 6240	. . . . 5
61		simpr 461	. . . . . 6
62	61, 54, 55	divrec2d 10248	. . . . 5
63	60, 62	oveq12d 6240	. . . 4
64		ax-1cn 9477	. . . . . . 7
65		nnnn0 10724	. . . . . . . . . . 11
66	65	adantr 465	. . . . . . . . . 10
67		nnexpcl 12035	. . . . . . . . . 10
68	5, 66, 67	sylancr 663	. . . . . . . . 9
69	68	nnrecred 10505	. . . . . . . 8
70	69	recnd 9549	. . . . . . 7
71		subcl 9746	. . . . . . 7
72	64, 70, 71	sylancr 663	. . . . . 6
73	20	a1i 11	. . . . . 6
74		0re 9523	. . . . . . . 8
75		halfgt0 10680	. . . . . . . 8
76	74, 75	gtneii 9623	. . . . . . 7
77	76	a1i 11	. . . . . 6
78	72, 73, 77	divcld 10244	. . . . 5
79	78, 73, 61	mulassd 9546	. . . 4
80	72, 73, 77	divcan1d 10245	. . . . 5
81	80	oveq1d 6237	. . . 4
82	63, 79, 81	3eqtr2d 2501	. . 3
83		halfre 10678	. . . . . . 7
84		halflt1 10681	. . . . . . 7
85	83, 84	ltneii 9624	. . . . . 6
86	85	a1i 11	. . . . 5
87	73, 86, 66	geoser 13487	. . . 4
88	87	oveq1d 6237	. . 3
89		mulid2 9521	. . . . . . 7
90	89	adantl 466	. . . . . 6
91	90	eqcomd 2462	. . . . 5
92	68	nncnd 10476	. . . . . 6
93	68	nnne0d 10504	. . . . . 6
94	61, 92, 93	divrec2d 10248	. . . . 5
95	91, 94	oveq12d 6240	. . . 4
96	64	a1i 11	. . . . 5
97	96, 70, 61	subdird 9938	. . . 4
98	95, 97	eqtr4d 2498	. . 3
99	82, 88, 98	3eqtr4d 2505	. 2
100	16, 53, 99	3eqtrd 2499	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648  (class class class)co 6222  cc 9417  0cc0 9419  1c1 9420  caddc 9422  cmul 9424  cmin 9732  cdiv 10130  cn 10460  2c2 10509  cn0 10717  cz 10784  cfz 11582  cexp 12022  sum_csu 13321

This theorem is referenced by:  geo2lim  13493  ovollb2lem  21370  ovoliunlem1  21384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-oadd 7058  df-er 7235  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-sup 7827  df-oi 7861  df-card 8246  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-n0 10718  df-z 10785  df-uz 11001  df-rp 11131  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-seq 11964  df-exp 12023  df-hash 12261  df-cj 12746  df-re 12747  df-im 12748  df-sqr 12882  df-abs 12883  df-clim 13124  df-sum 13322