Theorem geo2sum 13682

Description: The value of the finite geometric series 2-u12-u2... 2-uN, multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
geo2sum

Distinct variable groups:   ,   ,N

Proof of Theorem geo2sum

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 10920	. . 3
2		nnz 10911	. . . 4
3	2	adantr 465	. . 3
4		simplr 755	. . . 4
5		2nn 10718	. . . . . 6
6		elfznn 11743	. . . . . . . 8
7	6	adantl 466	. . . . . . 7
8	7	nnnn0d 10877	. . . . . 6
9		nnexpcl 12179	. . . . . 6
10	5, 8, 9	sylancr 663	. . . . 5
11	10	nncnd 10577	. . . 4
12	10	nnne0d 10605	. . . 4
13	4, 11, 12	divcld 10345	. . 3
14		oveq2 6304	. . . 4
15	14	oveq2d 6312	. . 3
16	1, 1, 3, 13, 15	fsumshftm 13596	. 2
17		1m1e0 10629	. . . . 5
18	17	oveq1i 6306	. . . 4
19	18	sumeq1i 13520	. . 3
20		halfcn 10780	. . . . . . . . . 10
21		elfznn0 11800	. . . . . . . . . . 11
22	21	adantl 466	. . . . . . . . . 10
23		expcl 12184	. . . . . . . . . 10
24	20, 22, 23	sylancr 663	. . . . . . . . 9
25		2cnd 10633	. . . . . . . . 9
26		2ne0 10653	. . . . . . . . . 10
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9
28	24, 25, 27	divrecd 10348	. . . . . . . 8
29		expp1 12173	. . . . . . . . 9
30	20, 22, 29	sylancr 663	. . . . . . . 8
31		elfzelz 11717	. . . . . . . . . . 11
32	31	peano2zd 10997	. . . . . . . . . 10
33	32	adantl 466	. . . . . . . . 9
34	25, 27, 33	exprecd 12318	. . . . . . . 8
35	28, 30, 34	3eqtr2rd 2505	. . . . . . 7
36	35	oveq2d 6312	. . . . . 6
37		simplr 755	. . . . . . 7
38		peano2nn0 10861	. . . . . . . . . 10
39	22, 38	syl 16	. . . . . . . . 9
40		nnexpcl 12179	. . . . . . . . 9
41	5, 39, 40	sylancr 663	. . . . . . . 8
42	41	nncnd 10577	. . . . . . 7
43	41	nnne0d 10605	. . . . . . 7
44	37, 42, 43	divrecd 10348	. . . . . 6
45	24, 37, 25, 27	div12d 10381	. . . . . 6
46	36, 44, 45	3eqtr4d 2508	. . . . 5
47	46	sumeq2dv 13525	. . . 4
48		fzfid 12083	. . . . 5
49		halfcl 10789	. . . . . 6
50	49	adantl 466	. . . . 5
51	48, 50, 24	fsummulc1 13600	. . . 4
52	47, 51	eqtr4d 2501	. . 3
53	19, 52	syl5eq 2510	. 2
54		2cnd 10633	. . . . . . . 8
55	26	a1i 11	. . . . . . . 8
56	54, 55, 3	exprecd 12318	. . . . . . 7
57	56	oveq2d 6312	. . . . . 6
58		1mhlfehlf 10783	. . . . . . 7
59	58	a1i 11	. . . . . 6
60	57, 59	oveq12d 6314	. . . . 5
61		simpr 461	. . . . . 6
62	61, 54, 55	divrec2d 10349	. . . . 5
63	60, 62	oveq12d 6314	. . . 4
64		ax-1cn 9571	. . . . . . 7
65		nnnn0 10827	. . . . . . . . . . 11
66	65	adantr 465	. . . . . . . . . 10
67		nnexpcl 12179	. . . . . . . . . 10
68	5, 66, 67	sylancr 663	. . . . . . . . 9
69	68	nnrecred 10606	. . . . . . . 8
70	69	recnd 9643	. . . . . . 7
71		subcl 9842	. . . . . . 7
72	64, 70, 71	sylancr 663	. . . . . 6
73	20	a1i 11	. . . . . 6
74		0re 9617	. . . . . . . 8
75		halfgt0 10781	. . . . . . . 8
76	74, 75	gtneii 9717	. . . . . . 7
77	76	a1i 11	. . . . . 6
78	72, 73, 77	divcld 10345	. . . . 5
79	78, 73, 61	mulassd 9640	. . . 4
80	72, 73, 77	divcan1d 10346	. . . . 5
81	80	oveq1d 6311	. . . 4
82	63, 79, 81	3eqtr2d 2504	. . 3
83		halfre 10779	. . . . . . 7
84		halflt1 10782	. . . . . . 7
85	83, 84	ltneii 9718	. . . . . 6
86	85	a1i 11	. . . . 5
87	73, 86, 66	geoser 13678	. . . 4
88	87	oveq1d 6311	. . 3
89		mulid2 9615	. . . . . . 7
90	89	adantl 466	. . . . . 6
91	90	eqcomd 2465	. . . . 5
92	68	nncnd 10577	. . . . . 6
93	68	nnne0d 10605	. . . . . 6
94	61, 92, 93	divrec2d 10349	. . . . 5
95	91, 94	oveq12d 6314	. . . 4
96	64	a1i 11	. . . . 5
97	96, 70, 61	subdird 10038	. . . 4
98	95, 97	eqtr4d 2501	. . 3
99	82, 88, 98	3eqtr4d 2508	. 2
100	16, 53, 99	3eqtrd 2502	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  cmin 9828  cdiv 10231  cn 10561  2c2 10610  cn0 10820  cz 10889  cfz 11701  cexp 12166  sum_csu 13508

This theorem is referenced by:  geo2lim  13684  ovollb2lem  21899  ovoliunlem1  21913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509