Theorem geo2sum 13273

Description: The value of the finite geometric series 2-u12-u2... 2-uN, multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
geo2sum

Distinct variable groups:   ,   ,N

Proof of Theorem geo2sum

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 10622	. . 3
2		nnz 10613	. . . 4
3	2	adantr 455	. . 3
4		simplr 739	. . . 4
5		2nn 10425	. . . . . 6
6		elfznn 11422	. . . . . . . 8
7	6	adantl 456	. . . . . . 7
8	7	nnnn0d 10581	. . . . . 6
9		nnexpcl 11819	. . . . . 6
10	5, 8, 9	sylancr 648	. . . . 5
11	10	nncnd 10284	. . . 4
12	10	nnne0d 10312	. . . 4
13	4, 11, 12	divcld 10053	. . 3
14		oveq2 6069	. . . 4
15	14	oveq2d 6077	. . 3
16	1, 1, 3, 13, 15	fsumshftm 13188	. 2
17		1m1e0 10336	. . . . 5
18	17	oveq1i 6071	. . . 4
19	18	sumeq1i 13116	. . 3
20		halfcn 10487	. . . . . . . . . 10
21		elfznn0 11425	. . . . . . . . . . 11
22	21	adantl 456	. . . . . . . . . 10
23		expcl 11824	. . . . . . . . . 10
24	20, 22, 23	sylancr 648	. . . . . . . . 9
25		2cnd 10340	. . . . . . . . 9
26		2ne0 10360	. . . . . . . . . 10
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9
28	24, 25, 27	divrecd 10056	. . . . . . . 8
29		expp1 11813	. . . . . . . . 9
30	20, 22, 29	sylancr 648	. . . . . . . 8
31		elfzelz 11397	. . . . . . . . . . 11
32	31	peano2zd 10695	. . . . . . . . . 10
33	32	adantl 456	. . . . . . . . 9
34	25, 27, 33	exprecd 11957	. . . . . . . 8
35	28, 30, 34	3eqtr2rd 2461	. . . . . . 7
36	35	oveq2d 6077	. . . . . 6
37		simplr 739	. . . . . . 7
38		peano2nn0 10566	. . . . . . . . . 10
39	22, 38	syl 16	. . . . . . . . 9
40		nnexpcl 11819	. . . . . . . . 9
41	5, 39, 40	sylancr 648	. . . . . . . 8
42	41	nncnd 10284	. . . . . . 7
43	41	nnne0d 10312	. . . . . . 7
44	37, 42, 43	divrecd 10056	. . . . . 6
45	24, 37, 25, 27	div12d 10089	. . . . . 6
46	36, 44, 45	3eqtr4d 2464	. . . . 5
47	46	sumeq2dv 13121	. . . 4
48		fzfid 11736	. . . . 5
49		halfcl 10496	. . . . . 6
50	49	adantl 456	. . . . 5
51	48, 50, 24	fsummulc1 13192	. . . 4
52	47, 51	eqtr4d 2457	. . 3
53	19, 52	syl5eq 2466	. 2
54		2cnd 10340	. . . . . . . 8
55	26	a1i 11	. . . . . . . 8
56	54, 55, 3	exprecd 11957	. . . . . . 7
57	56	oveq2d 6077	. . . . . 6
58		1mhlfehlf 10490	. . . . . . 7
59	58	a1i 11	. . . . . 6
60	57, 59	oveq12d 6079	. . . . 5
61		simpr 451	. . . . . 6
62	61, 54, 55	divrec2d 10057	. . . . 5
63	60, 62	oveq12d 6079	. . . 4
64		ax-1cn 9286	. . . . . . 7
65		nnnn0 10532	. . . . . . . . . . 11
66	65	adantr 455	. . . . . . . . . 10
67		nnexpcl 11819	. . . . . . . . . 10
68	5, 66, 67	sylancr 648	. . . . . . . . 9
69	68	nnrecred 10313	. . . . . . . 8
70	69	recnd 9358	. . . . . . 7
71		subcl 9555	. . . . . . 7
72	64, 70, 71	sylancr 648	. . . . . 6
73	20	a1i 11	. . . . . 6
74		0re 9332	. . . . . . . 8
75		halfgt0 10488	. . . . . . . 8
76	74, 75	gtneii 9432	. . . . . . 7
77	76	a1i 11	. . . . . 6
78	72, 73, 77	divcld 10053	. . . . 5
79	78, 73, 61	mulassd 9355	. . . 4
80	72, 73, 77	divcan1d 10054	. . . . 5
81	80	oveq1d 6076	. . . 4
82	63, 79, 81	3eqtr2d 2460	. . 3
83		halfre 10486	. . . . . . 7
84		halflt1 10489	. . . . . . 7
85	83, 84	ltneii 9433	. . . . . 6
86	85	a1i 11	. . . . 5
87	73, 86, 66	geoser 13269	. . . 4
88	87	oveq1d 6076	. . 3
89		mulid2 9330	. . . . . . 7
90	89	adantl 456	. . . . . 6
91	90	eqcomd 2427	. . . . 5
92	68	nncnd 10284	. . . . . 6
93	68	nnne0d 10312	. . . . . 6
94	61, 92, 93	divrec2d 10057	. . . . 5
95	91, 94	oveq12d 6079	. . . 4
96	64	a1i 11	. . . . 5
97	96, 70, 61	subdird 9747	. . . 4
98	95, 97	eqtr4d 2457	. . 3
99	82, 88, 98	3eqtr4d 2464	. 2
100	16, 53, 99	3eqtrd 2458	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  =/=wne 2585  (class class class)co 6061  cc 9226  0cc0 9228  1c1 9229  caddc 9231  cmul 9233  cmin 9541  cdiv 9939  cn 10268  2c2 10317  cn0 10525  cz 10591  cfz 11381  cexp 11806  sum_csu 13104

This theorem is referenced by:  geo2lim  13275  ovollb2lem  20671  ovoliunlem1  20685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-fal 1356  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-oadd 6885  df-er 7062  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-rp 10937  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-seq 11748  df-exp 11807  df-hash 12045  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-clim 12907  df-sum 13105