Theorem geolim2 13680

Description: The partial sums in the geometric series AMA(M1)... converge to . (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
geolim.1
geolim.2
geolim2.3
geolim2.4

Assertion

Ref	Expression
geolim2

Distinct variable groups:   ,   ,   ,M   ,

Proof of Theorem geolim2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2457	. . 3
2		geolim2.3	. . . 4
3	2	nn0zd 10992	. . 3
4		geolim2.4	. . 3
5		geolim.1	. . . . 5
6	5	adantr 465	. . . 4
7		eluznn0 11180	. . . . 5
8	2, 7	sylan 471	. . . 4
9	6, 8	expcld 12310	. . 3
10		oveq2 6304	. . . . . . . 8
11		eqid 2457	. . . . . . . 8
12		ovex 6324	. . . . . . . 8
13	10, 11, 12	fvmpt 5956	. . . . . . 7
14	8, 13	syl 16	. . . . . 6
15	14, 4	eqtr4d 2501	. . . . 5
16	3, 15	seqfeq 12132	. . . 4
17		geolim.2	. . . . . . 7
18		oveq2 6304	. . . . . . . . 9
19		ovex 6324	. . . . . . . . 9
20	18, 11, 19	fvmpt 5956	. . . . . . . 8
21	20	adantl 466	. . . . . . 7
22	5, 17, 21	geolim 13679	. . . . . 6
23		seqex 12109	. . . . . . 7
24		ovex 6324	. . . . . . 7
25	23, 24	breldm 5212	. . . . . 6
26	22, 25	syl 16	. . . . 5
27		nn0uz 11144	. . . . . 6
28		expcl 12184	. . . . . . . 8
29	5, 28	sylan 471	. . . . . . 7
30	21, 29	eqeltrd 2545	. . . . . 6
31	27, 2, 30	iserex 13479	. . . . 5
32	26, 31	mpbid 210	. . . 4
33	16, 32	eqeltrrd 2546	. . 3
34	1, 3, 4, 9, 33	isumclim2 13573	. 2
35	13	adantl 466	. . . . . . 7
36		expcl 12184	. . . . . . . 8
37	5, 36	sylan 471	. . . . . . 7
38	27, 1, 2, 35, 37, 26	isumsplit 13652	. . . . . 6
39		0zd 10901	. . . . . . 7
40	27, 39, 35, 37, 22	isumclim 13572	. . . . . 6
41	38, 40	eqtr3d 2500	. . . . 5
42		1re 9616	. . . . . . . . . . 11
43	42	ltnri 9714	. . . . . . . . . 10
44		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . 12
45		abs1 13130	. . . . . . . . . . . 12
46	44, 45	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . 11
47	46	breq1d 4462	. . . . . . . . . 10
48	43, 47	mtbiri 303	. . . . . . . . 9
49	48	necon2ai 2692	. . . . . . . 8
50	17, 49	syl 16	. . . . . . 7
51	5, 50, 2	geoser 13678	. . . . . 6
52	51	oveq1d 6311	. . . . 5
53	41, 52	eqtr3d 2500	. . . 4
54	53	oveq1d 6311	. . 3
55		1cnd 9633	. . . . 5
56		ax-1cn 9571	. . . . . 6
57	5, 2	expcld 12310	. . . . . 6
58		subcl 9842	. . . . . 6
59	56, 57, 58	sylancr 663	. . . . 5
60		subcl 9842	. . . . . 6
61	56, 5, 60	sylancr 663	. . . . 5
62	50	necomd 2728	. . . . . 6
63		subeq0 9868	. . . . . . . 8
64	56, 5, 63	sylancr 663	. . . . . . 7
65	64	necon3bid 2715	. . . . . 6
66	62, 65	mpbird 232	. . . . 5
67	55, 59, 61, 66	divsubdird 10384	. . . 4
68		nncan 9871	. . . . . 6
69	56, 57, 68	sylancr 663	. . . . 5
70	69	oveq1d 6311	. . . 4
71	67, 70	eqtr3d 2500	. . 3
72	59, 61, 66	divcld 10345	. . . 4
73	1, 3, 14, 9, 32	isumcl 13576	. . . 4
74	72, 73	pncan2d 9956	. . 3
75	54, 71, 74	3eqtr3rd 2507	. 2
76	34, 75	breqtrd 4476	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  clt 9649  cmin 9828  cdiv 10231  cn0 10820  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107  cexp 12166  cabs 13067  cli 13307  sum_csu 13508

This theorem is referenced by:  geoisum1  13688  geoisum1c  13689  rpnnen2lem3  13950  rpnnen2lem9  13956  abelthlem7  22833  log2tlbnd  23276  geomcau  30252  stirlinglem10  31865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509