MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geomulcvg Unicode version

Theorem geomulcvg 13685
Description: The geometric series converges even if it is multiplied by to result in the larger series A . (Contributed by Mario Carneiro, 27-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
geomulcvg.1
Assertion
Ref Expression
geomulcvg
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem geomulcvg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 geomulcvg.1 . . . . . . 7
2 elnn0 10822 . . . . . . . . 9
3 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
43oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13
5 0exp 12201 . . . . . . . . . . . . 13
64, 5sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . 12
76oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
8 nncn 10569 . . . . . . . . . . . . 13
98adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
109mul01d 9800 . . . . . . . . . . 11
117, 10eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
12 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
1312oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
14 simplll 759 . . . . . . . . . . . . 13
15 0nn0 10835 . . . . . . . . . . . . . 14
1612, 15syl6eqel 2553 . . . . . . . . . . . . 13
1714, 16expcld 12310 . . . . . . . . . . . 12
1817mul02d 9799 . . . . . . . . . . 11
1913, 18eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
2011, 19jaodan 785 . . . . . . . . 9
212, 20sylan2b 475 . . . . . . . 8
2221mpteq2dva 4538 . . . . . . 7
231, 22syl5eq 2510 . . . . . 6
24 fconstmpt 5048 . . . . . . 7
25 nn0uz 11144 . . . . . . . 8
2625xpeq1i 5024 . . . . . . 7
2724, 26eqtr3i 2488 . . . . . 6
2823, 27syl6eq 2514 . . . . 5
2928seqeq3d 12115 . . . 4
30 0z 10900 . . . . 5
31 serclim0 13400 . . . . 5
3230, 31ax-mp 5 . . . 4
3329, 32syl6eqbr 4489 . . 3
34 seqex 12109 . . . 4
35 c0ex 9611 . . . 4
3634, 35breldm 5212 . . 3
3733, 36syl 16 . 2
38 1red 9632 . . . 4
39 abscl 13111 . . . . . . . . 9
4039adantr 465 . . . . . . . 8
41 peano2re 9774 . . . . . . . 8
4240, 41syl 16 . . . . . . 7
4342rehalfcld 10810 . . . . . 6
4443adantr 465 . . . . 5
45 absrpcl 13121 . . . . . 6
4645adantlr 714 . . . . 5
4744, 46rerpdivcld 11312 . . . 4
4840recnd 9643 . . . . . . . 8
4948mulid2d 9635 . . . . . . 7
50 simpr 461 . . . . . . . 8
51 1re 9616 . . . . . . . . 9
52 avglt1 10801 . . . . . . . . 9
5340, 51, 52sylancl 662 . . . . . . . 8
5450, 53mpbid 210 . . . . . . 7
5549, 54eqbrtrd 4472 . . . . . 6
5655adantr 465 . . . . 5
5738, 44, 46ltmuldivd 11328 . . . . 5
5856, 57mpbid 210 . . . 4
59 expmulnbnd 12298 . . . 4
6038, 47, 58, 59syl3anc 1228 . . 3
61 eluznn0 11180 . . . . . . . 8
62 nn0cn 10830 . . . . . . . . . . . 12
6362adantl 466 . . . . . . . . . . 11
6463mulid2d 9635 . . . . . . . . . 10
6543recnd 9643 . . . . . . . . . . . 12
6665ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
6748ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
6846adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
6968rpne0d 11290 . . . . . . . . . . 11
70 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
7166, 67, 69, 70expdivd 12324 . . . . . . . . . 10
7264, 71breq12d 4465 . . . . . . . . 9
73 nn0re 10829 . . . . . . . . . . 11
7473adantl 466 . . . . . . . . . 10
75 reexpcl 12183 . . . . . . . . . . 11
7644, 75sylan 471 . . . . . . . . . 10
7740adantr 465 . . . . . . . . . . 11
78 reexpcl 12183 . . . . . . . . . . 11
7977, 78sylan 471 . . . . . . . . . 10
8077adantr 465 . . . . . . . . . . 11
81 nn0z 10912 . . . . . . . . . . . 12
8281adantl 466 . . . . . . . . . . 11
8368rpgt0d 11288 . . . . . . . . . . 11
84 expgt0 12199 . . . . . . . . . . 11
8580, 82, 83, 84syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
86 ltmuldiv 10440 . . . . . . . . . 10
8774, 76, 79, 85, 86syl112anc 1232 . . . . . . . . 9
8872, 87bitr4d 256 . . . . . . . 8
8961, 88sylan2 474 . . . . . . 7
9089anassrs 648 . . . . . 6
9190ralbidva 2893 . . . . 5
92 simprl 756 . . . . . . . 8
93 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
94 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
95 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11
9693, 94, 95fvmpt 5956 . . . . . . . . . 10
9796adantl 466 . . . . . . . . 9
9843ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
99 simpr 461 . . . . . . . . . 10
10098, 99reexpcld 12327 . . . . . . . . 9
10197, 100eqeltrd 2545 . . . . . . . 8
102 id 22 . . . . . . . . . . . 12
103 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12
104102, 103oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11
105 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11
106104, 1, 105fvmpt 5956 . . . . . . . . . 10
107106adantl 466 . . . . . . . . 9
108 nn0cn 10830 . . . . . . . . . . 11
109108adantl 466 . . . . . . . . . 10
110 simpll 753 . . . . . . . . . . 11
111 expcl 12184 . . . . . . . . . . 11
112110, 111sylan 471 . . . . . . . . . 10
113109, 112mulcld 9637 . . . . . . . . 9
114107, 113eqeltrd 2545 . . . . . . . 8
115 0red 9618 . . . . . . . . . . . . . 14
116 absge0 13120 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117116adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
118115, 40, 43, 117, 54lelttrd 9761 . . . . . . . . . . . . . 14
119115, 43, 118ltled 9754 . . . . . . . . . . . . 13
12043, 119absidd 13254 . . . . . . . . . . . 12
121 avglt2 10802 . . . . . . . . . . . . . 14
12240, 51, 121sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13
12350, 122mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12
124120, 123eqbrtrd 4472 . . . . . . . . . . 11
125 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13
126 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . 13
127125, 94, 126fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . 12
128127adantl 466 . . . . . . . . . . 11
12965, 124, 128geolim 13679 . . . . . . . . . 10
130 seqex 12109 . . . . . . . . . . 11
131 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11
132130, 131breldm 5212 . . . . . . . . . 10
133129, 132syl 16 . . . . . . . . 9
134133adantr 465 . . . . . . . 8
135 1red 9632 . . . . . . . 8
136 eluznn0 11180 . . . . . . . . . . . . . 14
13792, 136sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13
138137nn0red 10878 . . . . . . . . . . . 12
139 simplll 759 . . . . . . . . . . . . . 14
140139abscld 13267 . . . . . . . . . . . . 13
141140, 137reexpcld 12327 . . . . . . . . . . . 12
142138, 141remulcld 9645 . . . . . . . . . . 11
143137, 100syldan 470 . . . . . . . . . . 11
144 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12
145 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15
146102, 145oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . 14
147146, 93breq12d 4465 . . . . . . . . . . . . 13
148147rspccva 3209 . . . . . . . . . . . 12
149144, 148sylan 471 . . . . . . . . . . 11
150142, 143, 149ltled 9754 . . . . . . . . . 10
151137nn0cnd 10879 . . . . . . . . . . . 12
152139, 137expcld 12310 . . . . . . . . . . . 12
153151, 152absmuld 13285 . . . . . . . . . . 11
154137nn0ge0d 10880 . . . . . . . . . . . . 13
155138, 154absidd 13254 . . . . . . . . . . . 12
156139, 137absexpd 13283 . . . . . . . . . . . 12
157155, 156oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11
158153, 157eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
159143recnd 9643 . . . . . . . . . . 11
160159mulid2d 9635 . . . . . . . . . 10
161150, 158, 1603brtr4d 4482 . . . . . . . . 9
162137, 106syl 16 . . . . . . . . . 10
163162fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
164137, 96syl 16 . . . . . . . . . 10
165164oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
166161, 163, 1653brtr4d 4482 . . . . . . . 8
16725, 92, 101, 114, 134, 135, 166cvgcmpce 13632 . . . . . . 7
168167expr 615 . . . . . 6
169168adantlr 714 . . . . 5
17091, 169sylbid 215 . . . 4
171170rexlimdva 2949 . . 3
17260, 171mpd 15 . 2
17337, 172pm2.61dane 2775 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {csn 4029   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   crp 11249  seqcseq 12107   cexp 12166   cabs 13067   cli 13307
This theorem is referenced by:  radcnvlem1  22808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator