MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghminv Unicode version

Theorem ghminv 15691
Description: A homomorphism of groups preserves inverses. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ghminv.b
ghminv.y
ghminv.z
Assertion
Ref Expression
ghminv

Proof of Theorem ghminv
StepHypRef Expression
1 ghmgrp1 15686 . . . . . 6
2 ghminv.b . . . . . . 7
3 eqid 2422 . . . . . . 7
4 eqid 2422 . . . . . . 7
5 ghminv.y . . . . . . 7
62, 3, 4, 5grprinv 15522 . . . . . 6
71, 6sylan 461 . . . . 5
87fveq2d 5665 . . . 4
92, 5grpinvcl 15520 . . . . . 6
101, 9sylan 461 . . . . 5
11 eqid 2422 . . . . . 6
122, 3, 11ghmlin 15689 . . . . 5
1310, 12mpd3an3 1300 . . . 4
14 eqid 2422 . . . . . 6
154, 14ghmid 15690 . . . . 5
1615adantr 455 . . . 4
178, 13, 163eqtr3d 2462 . . 3
18 ghmgrp2 15687 . . . . 5
1918adantr 455 . . . 4
20 eqid 2422 . . . . . 6
212, 20ghmf 15688 . . . . 5
2221ffvelrnda 5813 . . . 4
2321adantr 455 . . . . 5
2423, 10ffvelrnd 5814 . . . 4
25 ghminv.z . . . . 5
2620, 11, 14, 25grpinvid1 15523 . . . 4
2719, 22, 24, 26syl3anc 1203 . . 3
2817, 27mpbird 226 . 2
2928eqcomd 2427 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  -->wf 5386  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cbs 14114   cplusg 14178   c0g 14318   cgrp 15350   cminusg 15351   cghm 15681
This theorem is referenced by:  ghmsub  15692  ghmmulg  15696  ghmrn  15697  ghmpreima  15705  ghmeql  15706  frgpup3lem  16211  mplind  17386  psgninv  17720  zrhpsgnodpm  17730  sum2dchr  22354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-id 4607  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-0g 14320  df-mnd 15355  df-grp 15482  df-minusg 15483  df-ghm 15682
  Copyright terms: Public domain W3C validator