MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghminv Unicode version

Theorem ghminv 15913
Description: A homomorphism of groups preserves inverses. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ghminv.b
ghminv.y
ghminv.z
Assertion
Ref Expression
ghminv

Proof of Theorem ghminv
StepHypRef Expression
1 ghmgrp1 15908 . . . . . 6
2 ghminv.b . . . . . . 7
3 eqid 2454 . . . . . . 7
4 eqid 2454 . . . . . . 7
5 ghminv.y . . . . . . 7
62, 3, 4, 5grprinv 15744 . . . . . 6
71, 6sylan 471 . . . . 5
87fveq2d 5817 . . . 4
92, 5grpinvcl 15742 . . . . . 6
101, 9sylan 471 . . . . 5
11 eqid 2454 . . . . . 6
122, 3, 11ghmlin 15911 . . . . 5
1310, 12mpd3an3 1316 . . . 4
14 eqid 2454 . . . . . 6
154, 14ghmid 15912 . . . . 5
1615adantr 465 . . . 4
178, 13, 163eqtr3d 2503 . . 3
18 ghmgrp2 15909 . . . . 5
1918adantr 465 . . . 4
20 eqid 2454 . . . . . 6
212, 20ghmf 15910 . . . . 5
2221ffvelrnda 5966 . . . 4
2321adantr 465 . . . . 5
2423, 10ffvelrnd 5967 . . . 4
25 ghminv.z . . . . 5
2620, 11, 14, 25grpinvid1 15745 . . . 4
2719, 22, 24, 26syl3anc 1219 . . 3
2817, 27mpbird 232 . 2
2928eqcomd 2462 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  -->wf 5533  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cbs 14332   cplusg 14397   c0g 14537   cgrp 15569   cminusg 15570   cghm 15903
This theorem is referenced by:  ghmsub  15914  ghmmulg  15918  ghmrn  15919  ghmpreima  15927  ghmeql  15928  frgpup3lem  16435  mplind  17761  psgninv  18205  zrhpsgnodpm  18215  cpmatinvcl  18790  sum2dchr  23013  asclinvg  31682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-id 4753  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-0g 14539  df-mnd 15574  df-grp 15704  df-minusg 15705  df-ghm 15904
  Copyright terms: Public domain W3C validator