Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grothac Unicode version

Theorem grothac 9229
 Description: The Tarski-Grothendieck Axiom implies the Axiom of Choice (in the form of cardeqv 8870). This can be put in a more conventional form via ween 8437 and dfac8 8536. Note that the mere existence of strongly inaccessible cardinals doesn't imply AC, but rather the particular form of the Tarski-Grothendieck axiom (see http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2008-March/012783.html). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
grothac

Proof of Theorem grothac
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axgroth6 9227 . . . 4
2 pweq 4015 . . . . . . . . . . 11
32sseq1d 3530 . . . . . . . . . 10
42eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
53, 4anbi12d 710 . . . . . . . . 9
65rspcva 3208 . . . . . . . 8
76simpld 459 . . . . . . 7
8 rabss 3576 . . . . . . . 8
98biimpri 206 . . . . . . 7
10 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
1110canth2 7690 . . . . . . . . . 10
12 sdomdom 7563 . . . . . . . . . 10
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9
14 vex 3112 . . . . . . . . . 10
15 ssdomg 7581 . . . . . . . . . 10
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9
17 domtr 7588 . . . . . . . . 9
1813, 16, 17sylancr 663 . . . . . . . 8
19 tskwe 8352 . . . . . . . . 9
2014, 19mpan 670 . . . . . . . 8
21 numdom 8440 . . . . . . . . 9
2221expcom 435 . . . . . . . 8
2318, 20, 22syl2im 38 . . . . . . 7
247, 9, 23syl2im 38 . . . . . 6
25243impia 1193 . . . . 5
2625exlimiv 1722 . . . 4
271, 26ax-mp 5 . . 3
2827, 102th 239 . 2
2928eqriv 2453 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  domcdm 5004   cdom 7534   csdm 7535   ccrd 8337 This theorem is referenced by:  axgroth3  9230 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-groth 9222 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-recs 7061  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-card 8341
 Copyright terms: Public domain W3C validator