MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grothomex Unicode version

Theorem grothomex 9228
Description: The Tarski-Grothendieck Axiom implies the Axiom of Infinity (in the form of omex 8081). Note that our proof depends on neither the Axiom of Infinity nor Regularity. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
grothomex

Proof of Theorem grothomex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r111 8214 . . . 4
2 omsson 6704 . . . 4
3 f1ores 5835 . . . 4
41, 2, 3mp2an 672 . . 3
5 f1of1 5820 . . 3
64, 5ax-mp 5 . 2
7 0ex 4582 . . . 4
8 eleq1 2529 . . . . . 6
98anbi1d 704 . . . . 5
109exbidv 1714 . . . 4
11 axgroth6 9227 . . . . 5
12 simpr 461 . . . . . . . 8
1312ralimi 2850 . . . . . . 7
1413anim2i 569 . . . . . 6
15143adant3 1016 . . . . 5
1611, 15eximii 1658 . . . 4
177, 10, 16vtocl 3161 . . 3
18 r1fnon 8206 . . . . . . . . 9
19 fvelimab 5929 . . . . . . . . 9
2018, 2, 19mp2an 672 . . . . . . . 8
21 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
2221eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
23 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
2423eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
25 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
2625eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
27 r10 8207 . . . . . . . . . . . . . 14
2827eleq1i 2534 . . . . . . . . . . . . 13
2928biimpri 206 . . . . . . . . . . . 12
3029adantr 465 . . . . . . . . . . 11
31 pweq 4015 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3231eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15
3332rspccv 3207 . . . . . . . . . . . . . 14
34 nnon 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
35 r1suc 8209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3736eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15
3837biimprcd 225 . . . . . . . . . . . . . 14
3933, 38syl6 33 . . . . . . . . . . . . 13
4039com3r 79 . . . . . . . . . . . 12
4140adantld 467 . . . . . . . . . . 11
4222, 24, 26, 30, 41finds2 6728 . . . . . . . . . 10
43 eleq1 2529 . . . . . . . . . . 11
4443biimpd 207 . . . . . . . . . 10
4542, 44syl9 71 . . . . . . . . 9
4645rexlimiv 2943 . . . . . . . 8
4720, 46sylbi 195 . . . . . . 7
4847com12 31 . . . . . 6
4948ssrdv 3509 . . . . 5
50 vex 3112 . . . . . 6
5150ssex 4596 . . . . 5
5249, 51syl 16 . . . 4
5352exlimiv 1722 . . 3
5417, 53ax-mp 5 . 2
55 f1dmex 6770 . 2
566, 54, 55mp2an 672 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452   con0 4883  succsuc 4885  |`cres 5006  "cima 5007  Fnwfn 5588  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593   com 6700   csdm 7535   cr1 8201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-groth 9222
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-r1 8203
  Copyright terms: Public domain W3C validator