MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvsub Unicode version

Theorem grpinvsub 15694
Description: Inverse of a group subtraction. (Contributed by NM, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubcl.b
grpsubcl.m
grpinvsub.n
Assertion
Ref Expression
grpinvsub

Proof of Theorem grpinvsub
StepHypRef Expression
1 grpsubcl.b . . . . . 6
2 grpinvsub.n . . . . . 6
31, 2grpinvcl 15669 . . . . 5
433adant2 1007 . . . 4
5 eqid 2450 . . . . 5
61, 5, 2grpinvadd 15690 . . . 4
74, 6syld3an3 1264 . . 3
81, 2grpinvinv 15679 . . . . 5
983adant2 1007 . . . 4
109oveq1d 6189 . . 3
117, 10eqtrd 2490 . 2
12 grpsubcl.m . . . . 5
131, 5, 2, 12grpsubval 15667 . . . 4
14133adant1 1006 . . 3
1514fveq2d 5777 . 2
161, 5, 2, 12grpsubval 15667 . . . 4
1716ancoms 453 . . 3
18173adant1 1006 . 2
1911, 15, 183eqtr4d 2500 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1757  `cfv 5500  (class class class)co 6174   cbs 14260   cplusg 14324   cgrp 15496   cminusg 15497   csg 15499
This theorem is referenced by:  grpsubsub  15700  ablsub2inv  16388  lspsnsub  17178  ghmcnp  19785  nrmmetd  20267  nmsub  20314  mapdpglem14  35611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4485  ax-sep 4495  ax-nul 4503  ax-pow 4552  ax-pr 4613  ax-un 6456
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3054  df-sbc 3269  df-csb 3371  df-dif 3413  df-un 3415  df-in 3417  df-ss 3424  df-nul 3720  df-if 3874  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4174  df-iun 4255  df-br 4375  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-id 4718  df-xp 4928  df-rel 4929  df-cnv 4930  df-co 4931  df-dm 4932  df-rn 4933  df-res 4934  df-ima 4935  df-iota 5463  df-fun 5502  df-fn 5503  df-f 5504  df-f1 5505  df-fo 5506  df-f1o 5507  df-fv 5508  df-riota 6135  df-ov 6177  df-oprab 6178  df-mpt2 6179  df-1st 6661  df-2nd 6662  df-0g 14466  df-mnd 15501  df-grp 15631  df-minusg 15632  df-sbg 15633
  Copyright terms: Public domain W3C validator