MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grplcan Unicode version

Theorem grplcan 15676
Description: Left cancellation law for groups. (Contributed by NM, 25-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grplcan.b
grplcan.p
Assertion
Ref Expression
grplcan

Proof of Theorem grplcan
StepHypRef Expression
1 oveq2 6182 . . . . . 6
21adantl 466 . . . . 5
3 grplcan.b . . . . . . . . . . 11
4 grplcan.p . . . . . . . . . . 11
5 eqid 2450 . . . . . . . . . . 11
6 eqid 2450 . . . . . . . . . . 11
73, 4, 5, 6grplinv 15670 . . . . . . . . . 10
87adantlr 714 . . . . . . . . 9
98oveq1d 6189 . . . . . . . 8
103, 6grpinvcl 15669 . . . . . . . . . . . 12
1110adantrl 715 . . . . . . . . . . 11
12 simprr 756 . . . . . . . . . . 11
13 simprl 755 . . . . . . . . . . 11
1411, 12, 133jca 1168 . . . . . . . . . 10
153, 4grpass 15638 . . . . . . . . . 10
1614, 15syldan 470 . . . . . . . . 9
1716anassrs 648 . . . . . . . 8
183, 4, 5grplid 15654 . . . . . . . . 9
1918adantr 465 . . . . . . . 8
209, 17, 193eqtr3d 2498 . . . . . . 7
2120adantrl 715 . . . . . 6
2221adantr 465 . . . . 5
237adantrl 715 . . . . . . . . 9
2423oveq1d 6189 . . . . . . . 8
2510adantrl 715 . . . . . . . . . 10
26 simprr 756 . . . . . . . . . 10
27 simprl 755 . . . . . . . . . 10
2825, 26, 273jca 1168 . . . . . . . . 9
293, 4grpass 15638 . . . . . . . . 9
3028, 29syldan 470 . . . . . . . 8
313, 4, 5grplid 15654 . . . . . . . . 9
3231adantrr 716 . . . . . . . 8
3324, 30, 323eqtr3d 2498 . . . . . . 7
3433adantlr 714 . . . . . 6
3534adantr 465 . . . . 5
362, 22, 353eqtr3d 2498 . . . 4
3736exp53 617 . . 3
38373imp2 1203 . 2
39 oveq2 6182 . 2
4038, 39impbid1 203 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1757  `cfv 5500  (class class class)co 6174   cbs 14260   cplusg 14324   c0g 14464   cgrp 15496   cminusg 15497
This theorem is referenced by:  grpidrcan  15677  grpinvinv  15679  grplmulf1o  15686  grplactcnv  15710  conjghm  15863  conjnmzb  15867  sylow3lem2  16215  gex2abl  16421  rngcom  16763  rnglz  16771  lmodlcan  17054  isnumbasgrplem2  29582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4485  ax-sep 4495  ax-nul 4503  ax-pow 4552  ax-pr 4613
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3054  df-sbc 3269  df-csb 3371  df-dif 3413  df-un 3415  df-in 3417  df-ss 3424  df-nul 3720  df-if 3874  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4174  df-iun 4255  df-br 4375  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-id 4718  df-xp 4928  df-rel 4929  df-cnv 4930  df-co 4931  df-dm 4932  df-rn 4933  df-res 4934  df-ima 4935  df-iota 5463  df-fun 5502  df-fn 5503  df-f 5504  df-f1 5505  df-fo 5506  df-f1o 5507  df-fv 5508  df-riota 6135  df-ov 6177  df-0g 14466  df-mnd 15501  df-grp 15631  df-minusg 15632
  Copyright terms: Public domain W3C validator