MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubadd Unicode version

Theorem grpsubadd 15772
Description: Relationship between group subtraction and addition. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubadd.b
grpsubadd.p
grpsubadd.m
Assertion
Ref Expression
grpsubadd

Proof of Theorem grpsubadd
StepHypRef Expression
1 grpsubadd.b . . . . . . 7
2 grpsubadd.p . . . . . . 7
3 eqid 2454 . . . . . . 7
4 grpsubadd.m . . . . . . 7
51, 2, 3, 4grpsubval 15740 . . . . . 6
653adant3 1008 . . . . 5
76adantl 466 . . . 4
87eqeq1d 2456 . . 3
9 simpl 457 . . . 4
10 simpr1 994 . . . . 5
111, 3grpinvcl 15742 . . . . . 6
12113ad2antr2 1154 . . . . 5
131, 2grpcl 15710 . . . . 5
149, 10, 12, 13syl3anc 1219 . . . 4
15 simpr3 996 . . . 4
16 simpr2 995 . . . 4
171, 2grprcan 15730 . . . 4
189, 14, 15, 16, 17syl13anc 1221 . . 3
191, 2grpass 15711 . . . . . 6
209, 10, 12, 16, 19syl13anc 1221 . . . . 5
21 eqid 2454 . . . . . . . 8
221, 2, 21, 3grplinv 15743 . . . . . . 7
23223ad2antr2 1154 . . . . . 6
2423oveq2d 6238 . . . . 5
251, 2, 21grprid 15728 . . . . . 6
26253ad2antr1 1153 . . . . 5
2720, 24, 263eqtrd 2499 . . . 4
2827eqeq1d 2456 . . 3
298, 18, 283bitr2d 281 . 2
30 eqcom 2463 . 2
3129, 30syl6bb 261 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1758  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cbs 14332   cplusg 14397   c0g 14537   cgrp 15569   cminusg 15570   csg 15572
This theorem is referenced by:  grpsubsub4  15777  conjghm  15936  conjnmzb  15940  sylow3lem2  16288  ablsubadd  16462  pgpfac1lem2  16751  pgpfac1lem4  16754  lspexch  17386  coe1subfv  17901  ipsubdir  18264  ipsubdi  18265  zlmodzxzsub  31626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-id 4753  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-0g 14539  df-mnd 15574  df-grp 15704  df-minusg 15705  df-sbg 15706
  Copyright terms: Public domain W3C validator