MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubsub4 Unicode version

Theorem grpsubsub4 14932
Description: Double group subtraction (subsub4 9385 analog). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubadd.b
grpsubadd.p
grpsubadd.m
Assertion
Ref Expression
grpsubsub4

Proof of Theorem grpsubsub4
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . . . . 6
2 grpsubadd.b . . . . . . . 8
3 grpsubadd.m . . . . . . . 8
42, 3grpsubcl 14920 . . . . . . 7
543adant3r3 1165 . . . . . 6
6 simpr3 966 . . . . . 6
7 grpsubadd.p . . . . . . 7
82, 7, 3grpnpcan 14931 . . . . . 6
91, 5, 6, 8syl3anc 1185 . . . . 5
109oveq1d 6144 . . . 4
112, 3grpsubcl 14920 . . . . . 6
121, 5, 6, 11syl3anc 1185 . . . . 5
13 simpr2 965 . . . . 5
142, 7grpass 14870 . . . . 5
151, 12, 6, 13, 14syl13anc 1187 . . . 4
162, 7, 3grpnpcan 14931 . . . . 5
17163adant3r3 1165 . . . 4
1810, 15, 173eqtr3d 2483 . . 3
19 simpr1 964 . . . 4
202, 7grpcl 14869 . . . . 5
211, 6, 13, 20syl3anc 1185 . . . 4
222, 7, 3grpsubadd 14927 . . . 4
231, 19, 21, 12, 22syl13anc 1187 . . 3
2418, 23mpbird 225 . 2
2524eqcomd 2448 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  /\w3a 937  =wceq 1654  e.wcel 1728  `cfv 5501  (class class class)co 6129   cbs 13520   cplusg 13580   cgrp 14736   csg 14739
This theorem is referenced by:  grppnpcan2  14933  grpnnncan2  14935  sylow3lem1  15312  subgdisj1  15374  pjthlem2  19390  ply1divex  20110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4354  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-op 3850  df-uni 4044  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-id 4539  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-ov 6132  df-oprab 6133  df-mpt2 6134  df-1st 6399  df-2nd 6400  df-riota 6599  df-0g 13778  df-mnd 14741  df-grp 14863  df-minusg 14864  df-sbg 14865
  Copyright terms: Public domain W3C validator