Theorem grudomon 9216

Description: Each ordinal that is comparable with an element of the universe is in the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grudomon

Proof of Theorem grudomon

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4455	. . . . . . . 8
2		eleq1 2529	. . . . . . . 8
3	1, 2	imbi12d 320	. . . . . . 7
4	3	imbi2d 316	. . . . . 6
5		breq1 4455	. . . . . . . 8
6		eleq1 2529	. . . . . . . 8
7	5, 6	imbi12d 320	. . . . . . 7
8	7	imbi2d 316	. . . . . 6
9		r19.21v 2862	. . . . . . 7
10		simpl1 999	. . . . . . . . . . . . . . . 16
11		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
12		onelss 4925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13	12	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
14		ssdomg 7581	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
15	11, 13, 14	mpsyl 63	. . . . . . . . . . . . . . . 16
16	10, 15	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15
17		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . 15
18		domtr 7588	. . . . . . . . . . . . . . 15
19	16, 17, 18	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14
20		pm2.27 39	. . . . . . . . . . . . . 14
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
22	21	ralimdva 2865	. . . . . . . . . . . 12
23		dfss3 3493	. . . . . . . . . . . . 13
24		domeng 7550	. . . . . . . . . . . . . . . 16
25	24	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	25	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . 14
27		simpl2 1000	. . . . . . . . . . . . . . 15
28		gruss 9195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
29	28	3expia 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
30	29	3adant1 1014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
31	30	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
32		ensym 7584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34	31, 33	anim12d 563	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
35	34	ancomsd 454	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	eximdv 1710	. . . . . . . . . . . . . . 15
37		gruen 9211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
38	37	3com23 1202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
39	38	3exp 1195	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	39	exlimdv 1724	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	27, 36, 40	sylsyld 56	. . . . . . . . . . . . . 14
42	26, 41	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13
43	23, 42	syl5bir 218	. . . . . . . . . . . 12
44	22, 43	syld 44	. . . . . . . . . . 11
45	44	ex 434	. . . . . . . . . 10
46	45	com23 78	. . . . . . . . 9
47	46	3expib 1199	. . . . . . . 8
48	47	a2d 26	. . . . . . 7
49	9, 48	syl5bi 217	. . . . . 6
50	4, 8, 49	tfis3 6692	. . . . 5
51	50	com3l 81	. . . 4
52	51	impr 619	. . 3
53	52	3impia 1193	. 2
54	53	3com23 1202	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  cvv 3109  C_wss 3475   class class class wbr 4452  con0 4883  cen 7533  cdom 7534  cgru 9189

This theorem is referenced by:  gruina  9217  grur1  9219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-gru 9190