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Theorem grudomon 9216
Description: Each ordinal that is comparable with an element of the universe is in the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grudomon

Proof of Theorem grudomon
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4455 . . . . . . . 8
2 eleq1 2529 . . . . . . . 8
31, 2imbi12d 320 . . . . . . 7
43imbi2d 316 . . . . . 6
5 breq1 4455 . . . . . . . 8
6 eleq1 2529 . . . . . . . 8
75, 6imbi12d 320 . . . . . . 7
87imbi2d 316 . . . . . 6
9 r19.21v 2862 . . . . . . 7
10 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12 onelss 4925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1312imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14 ssdomg 7581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1511, 13, 14mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1610, 15sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15
17 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15
18 domtr 7588 . . . . . . . . . . . . . . 15
1916, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
20 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . 14
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
2221ralimdva 2865 . . . . . . . . . . . 12
23 dfss3 3493 . . . . . . . . . . . . 13
24 domeng 7550 . . . . . . . . . . . . . . . 16
25243ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . 15
2625biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14
27 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 gruss 9195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
29283expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
30293adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
32 ensym 7584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3431, 33anim12d 563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3534ancomsd 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3635eximdv 1710 . . . . . . . . . . . . . . 15
37 gruen 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
38373com23 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
39383exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4039exlimdv 1724 . . . . . . . . . . . . . . 15
4127, 36, 40sylsyld 56 . . . . . . . . . . . . . 14
4226, 41mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13
4323, 42syl5bir 218 . . . . . . . . . . . 12
4422, 43syld 44 . . . . . . . . . . 11
4544ex 434 . . . . . . . . . 10
4645com23 78 . . . . . . . . 9
47463expib 1199 . . . . . . . 8
4847a2d 26 . . . . . . 7
499, 48syl5bi 217 . . . . . 6
504, 8, 49tfis3 6692 . . . . 5
5150com3l 81 . . . 4
5251impr 619 . . 3
53523impia 1193 . 2
54533com23 1202 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  C_wss 3475   class class class wbr 4452   con0 4883   cen 7533   cdom 7534   cgru 9189
This theorem is referenced by:  gruina  9217  grur1  9219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-gru 9190
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