Theorem gruima 9201

Description: A Grothendieck universe contains image sets drawn from its members. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
gruima

Proof of Theorem gruima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1000	. . . 4
2		funrel 5610	. . . 4
3		resres 5291	. . . . . . 7
4		resdm 5320	. . . . . . . 8
5	4	reseq1d 5277	. . . . . . 7
6	3, 5	syl5eqr 2512	. . . . . 6
7	6	rneqd 5235	. . . . 5
8		df-ima 5017	. . . . 5
9	7, 8	syl6reqr 2517	. . . 4
10	1, 2, 9	3syl 20	. . 3
11		simpl1 999	. . . 4
12		simpr 461	. . . . 5
13		inss2 3718	. . . . . 6
14	13	a1i 11	. . . . 5
15		gruss 9195	. . . . 5
16	11, 12, 14, 15	syl3anc 1228	. . . 4
17		funforn 5807	. . . . . . . 8
18		fof 5800	. . . . . . . 8
19	17, 18	sylbi 195	. . . . . . 7
20		inss1 3717	. . . . . . 7
21		fssres 5756	. . . . . . 7
22	19, 20, 21	sylancl 662	. . . . . 6
23		ffn 5736	. . . . . 6
24	1, 22, 23	3syl 20	. . . . 5
25		simpl3 1001	. . . . . 6
26	10, 25	eqsstr3d 3538	. . . . 5
27		df-f 5597	. . . . 5
28	24, 26, 27	sylanbrc 664	. . . 4
29		grurn 9200	. . . 4
30	11, 16, 28, 29	syl3anc 1228	. . 3
31	10, 30	eqeltrd 2545	. 2
32	31	ex 434	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  i^icin 3474  C_wss 3475  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Relwrel 5009  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  cgru 9189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fo 5599  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7441  df-gru 9190