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Theorem gruina 9217
Description: If a Grothendieck universe is nonempty, then the height of the ordinals in is a strongly inaccessible cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
gruina.1
Assertion
Ref Expression
gruina

Proof of Theorem gruina
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3794 . . . 4
2 0ss 3814 . . . . . . . . . . 11
3 gruss 9195 . . . . . . . . . . 11
42, 3mp3an3 1313 . . . . . . . . . 10
5 0elon 4936 . . . . . . . . . 10
64, 5jctir 538 . . . . . . . . 9
7 elin 3686 . . . . . . . . 9
86, 7sylibr 212 . . . . . . . 8
9 gruina.1 . . . . . . . 8
108, 9syl6eleqr 2556 . . . . . . 7
11 ne0i 3790 . . . . . . 7
1210, 11syl 16 . . . . . 6
1312expcom 435 . . . . 5
1413exlimiv 1722 . . . 4
151, 14sylbi 195 . . 3
1615impcom 430 . 2
17 grutr 9192 . . . . . . . 8
18 tron 4906 . . . . . . . 8
19 trin 4555 . . . . . . . 8
2017, 18, 19sylancl 662 . . . . . . 7
21 inss2 3718 . . . . . . . . 9
22 epweon 6619 . . . . . . . . 9
23 wess 4871 . . . . . . . . 9
2421, 22, 23mp2 9 . . . . . . . 8
2524a1i 11 . . . . . . 7
26 df-ord 4886 . . . . . . 7
2720, 25, 26sylanbrc 664 . . . . . 6
28 inex1g 4595 . . . . . 6
29 elon2 4894 . . . . . 6
3027, 28, 29sylanbrc 664 . . . . 5
319, 30syl5eqel 2549 . . . 4
3231adantr 465 . . 3
33 eloni 4893 . . . . . . 7
34 ordirr 4901 . . . . . . 7
3533, 34syl 16 . . . . . 6
36 elin 3686 . . . . . . . . 9
3736biimpri 206 . . . . . . . 8
3837, 9syl6eleqr 2556 . . . . . . 7
3938expcom 435 . . . . . 6
4035, 39mtod 177 . . . . 5
4132, 40syl 16 . . . 4
42 inss1 3717 . . . . . . . . . . . . . . . 16
439, 42eqsstri 3533 . . . . . . . . . . . . . . 15
4443sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . 14
45 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645pwex 4635 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746canth2 7690 . . . . . . . . . . . . . . 15
4846pwex 4635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4948cardid 8943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5049ensymi 7585 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5131adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
52 grupw 9194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
53 grupw 9194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5452, 53syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5531adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
56 endom 7562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5749, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
58 cardon 8346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
59 grudomon 9216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6058, 59mp3an2 1312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6157, 60mpanr2 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
62 elin 3686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6362biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6463, 9syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6561, 58, 64sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
66 onelss 4925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6755, 65, 66sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6854, 67syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
69 ssdomg 7581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7051, 68, 69sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16
71 endomtr 7593 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7250, 70, 71sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15
73 sdomdomtr 7670 . . . . . . . . . . . . . . 15
7447, 72, 73sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14
7544, 74sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13
7675ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . 12
77 inawinalem 9088 . . . . . . . . . . . 12
7831, 76, 77sylc 60 . . . . . . . . . . 11
7978adantr 465 . . . . . . . . . 10
80 winainflem 9092 . . . . . . . . . 10
8116, 32, 79, 80syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
8245canth2 7690 . . . . . . . . . . . . . 14
83 sdomtr 7675 . . . . . . . . . . . . . 14
8482, 75, 83sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
8584ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . 12
86 iscard 8377 . . . . . . . . . . . 12
8731, 85, 86sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11
88 cardlim 8374 . . . . . . . . . . . 12
89 sseq2 3525 . . . . . . . . . . . . 13
90 limeq 4895 . . . . . . . . . . . . 13
9189, 90bibi12d 321 . . . . . . . . . . . 12
9288, 91mpbii 211 . . . . . . . . . . 11
9387, 92syl 16 . . . . . . . . . 10
9493adantr 465 . . . . . . . . 9
9581, 94mpbid 210 . . . . . . . 8
96 cflm 8651 . . . . . . . 8
9732, 95, 96syl2anc 661 . . . . . . 7
98 cardon 8346 . . . . . . . . . . . 12
99 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12
10098, 99mpbiri 233 . . . . . . . . . . 11
101100adantr 465 . . . . . . . . . 10
102101exlimiv 1722 . . . . . . . . 9
103102abssi 3574 . . . . . . . 8
104 fvex 5881 . . . . . . . . . 10
10597, 104syl6eqelr 2554 . . . . . . . . 9
106 intex 4608 . . . . . . . . 9
107105, 106sylibr 212 . . . . . . . 8
108 onint 6630 . . . . . . . 8
109103, 107, 108sylancr 663 . . . . . . 7
11097, 109eqeltrd 2545 . . . . . 6
111 eqeq1 2461 . . . . . . . . 9
112111anbi1d 704 . . . . . . . 8
113112exbidv 1714 . . . . . . 7
114104, 113elab 3246 . . . . . 6
115110, 114sylib 196 . . . . 5
116 simp2rr 1066 . . . . . . . 8
117 simp1l 1020 . . . . . . . . 9
118 simp2rl 1065 . . . . . . . . . . 11
119118, 43syl6ss 3515 . . . . . . . . . 10
12043sseli 3499 . . . . . . . . . . 11
1211203ad2ant3 1019 . . . . . . . . . 10
122 simp2l 1022 . . . . . . . . . . 11
123 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
124123cardid 8943 . . . . . . . . . . 11
125122, 124syl6eqbr 4489 . . . . . . . . . 10
126 gruen 9211 . . . . . . . . . 10
127117, 119, 121, 125, 126syl112anc 1232 . . . . . . . . 9
128 gruuni 9199 . . . . . . . . 9
129117, 127, 128syl2anc 661 . . . . . . . 8
130116, 129eqeltrd 2545 . . . . . . 7
1311303exp 1195 . . . . . 6
132131exlimdv 1724 . . . . 5
133115, 132mpd 15 . . . 4
13441, 133mtod 177 . . 3
135 cfon 8656 . . . . 5
136 cfle 8655 . . . . . 6
137 onsseleq 4924 . . . . . 6
138136, 137mpbii 211 . . . . 5
139135, 138mpan 670 . . . 4
140139ord 377 . . 3
14132, 134, 140sylc 60 . 2
14276adantr 465 . 2
143 elina 9086 . 2
14416, 141, 142, 143syl3anbrc 1180 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  Trwtr 4545   cep 4794  Wewwe 4842  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  `cfv 5593   com 6700   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   ccrd 8337   ccf 8339   cina 9082   cgru 9189
This theorem is referenced by:  grur1a  9218  grur1  9219  grutsk  9221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-ac2 8864
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-1o 7149  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-card 8341  df-cf 8343  df-ac 8518  df-ina 9084  df-gru 9190
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