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Theorem gruina 8931
Description: If a Grothendieck's universe is nonempty, then the height of the ordinals in is a strongly inaccessible cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
gruina.1
Assertion
Ref Expression
gruina

Proof of Theorem gruina
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3623 . . . 4
2 0ss 3643 . . . . . . . . . . 11
3 gruss 8909 . . . . . . . . . . 11
42, 3mp3an3 1288 . . . . . . . . . 10
5 0elon 4743 . . . . . . . . . 10
64, 5jctir 528 . . . . . . . . 9
7 elin 3516 . . . . . . . . 9
86, 7sylibr 206 . . . . . . . 8
9 gruina.1 . . . . . . . 8
108, 9syl6eleqr 2513 . . . . . . 7
11 ne0i 3620 . . . . . . 7
1210, 11syl 16 . . . . . 6
1312expcom 428 . . . . 5
1413exlimiv 1679 . . . 4
151, 14sylbi 189 . . 3
1615impcom 423 . 2
17 grutr 8906 . . . . . . . 8
18 tron 4713 . . . . . . . 8
19 trin 4370 . . . . . . . 8
2017, 18, 19sylancl 647 . . . . . . 7
21 inss2 3548 . . . . . . . . 9
22 epweon 6365 . . . . . . . . 9
23 wess 4678 . . . . . . . . 9
2421, 22, 23mp2 9 . . . . . . . 8
2524a1i 11 . . . . . . 7
26 df-ord 4693 . . . . . . 7
2720, 25, 26sylanbrc 649 . . . . . 6
28 inex1g 4410 . . . . . 6
29 elon2 4701 . . . . . 6
3027, 28, 29sylanbrc 649 . . . . 5
319, 30syl5eqel 2506 . . . 4
3231adantr 455 . . 3
33 eloni 4700 . . . . . . 7
34 ordirr 4708 . . . . . . 7
3533, 34syl 16 . . . . . 6
36 elin 3516 . . . . . . . . 9
3736biimpri 200 . . . . . . . 8
3837, 9syl6eleqr 2513 . . . . . . 7
3938expcom 428 . . . . . 6
4035, 39mtod 171 . . . . 5
4132, 40syl 16 . . . 4
42 inss1 3547 . . . . . . . . . . . . . . . 16
439, 42eqsstri 3363 . . . . . . . . . . . . . . 15
4443sseli 3329 . . . . . . . . . . . . . 14
45 vex 2954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645pwex 4447 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746canth2 7423 . . . . . . . . . . . . . . 15
4846pwex 4447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4948cardid 8658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5049ensymi 7318 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5131adantr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
52 grupw 8908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
53 grupw 8908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5452, 53syldan 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5531adantr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
56 endom 7295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5749, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
58 cardon 8061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
59 grudomon 8930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6058, 59mp3an2 1287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6157, 60mpanr2 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
62 elin 3516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6362biimpri 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6463, 9syl6eleqr 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6561, 58, 64sylancl 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
66 onelss 4732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6755, 65, 66sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6854, 67syldan 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
69 ssdomg 7314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7051, 68, 69sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . . 16
71 endomtr 7326 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7250, 70, 71sylancr 648 . . . . . . . . . . . . . . 15
73 sdomdomtr 7403 . . . . . . . . . . . . . . 15
7447, 72, 73sylancr 648 . . . . . . . . . . . . . 14
7544, 74sylan2 464 . . . . . . . . . . . . 13
7675ralrimiva 2778 . . . . . . . . . . . 12
77 inawinalem 8802 . . . . . . . . . . . 12
7831, 76, 77sylc 59 . . . . . . . . . . 11
7978adantr 455 . . . . . . . . . 10
80 winainflem 8806 . . . . . . . . . 10
8116, 32, 79, 80syl3anc 1203 . . . . . . . . 9
8245canth2 7423 . . . . . . . . . . . . . 14
83 sdomtr 7408 . . . . . . . . . . . . . 14
8482, 75, 83sylancr 648 . . . . . . . . . . . . 13
8584ralrimiva 2778 . . . . . . . . . . . 12
86 iscard 8092 . . . . . . . . . . . 12
8731, 85, 86sylanbrc 649 . . . . . . . . . . 11
88 cardlim 8089 . . . . . . . . . . . 12
89 sseq2 3355 . . . . . . . . . . . . 13
90 limeq 4702 . . . . . . . . . . . . 13
9189, 90bibi12d 315 . . . . . . . . . . . 12
9288, 91mpbii 205 . . . . . . . . . . 11
9387, 92syl 16 . . . . . . . . . 10
9493adantr 455 . . . . . . . . 9
9581, 94mpbid 204 . . . . . . . 8
96 cflm 8366 . . . . . . . 8
9732, 95, 96syl2anc 646 . . . . . . 7
98 cardon 8061 . . . . . . . . . . . 12
99 eleq1 2482 . . . . . . . . . . . 12
10098, 99mpbiri 227 . . . . . . . . . . 11
101100adantr 455 . . . . . . . . . 10
102101exlimiv 1679 . . . . . . . . 9
103102abssi 3404 . . . . . . . 8
104 fvex 5671 . . . . . . . . . 10
10597, 104syl6eqelr 2511 . . . . . . . . 9
106 intex 4420 . . . . . . . . 9
107105, 106sylibr 206 . . . . . . . 8
108 onint 6376 . . . . . . . 8
109103, 107, 108sylancr 648 . . . . . . 7
11097, 109eqeltrd 2496 . . . . . 6
111 eqeq1 2428 . . . . . . . . 9
112111anbi1d 689 . . . . . . . 8
113112exbidv 1671 . . . . . . 7
114104, 113elab 3084 . . . . . 6
115110, 114sylib 190 . . . . 5
116 simp2rr 1043 . . . . . . . 8
117 simp1l 997 . . . . . . . . 9
118 simp2rl 1042 . . . . . . . . . . 11
119118, 43syl6ss 3345 . . . . . . . . . 10
12043sseli 3329 . . . . . . . . . . 11
1211203ad2ant3 996 . . . . . . . . . 10
122 simp2l 999 . . . . . . . . . . 11
123 vex 2954 . . . . . . . . . . . 12
124123cardid 8658 . . . . . . . . . . 11
125122, 124syl6eqbr 4304 . . . . . . . . . 10
126 gruen 8925 . . . . . . . . . 10
127117, 119, 121, 125, 126syl112anc 1207 . . . . . . . . 9
128 gruuni 8913 . . . . . . . . 9
129117, 127, 128syl2anc 646 . . . . . . . 8
130116, 129eqeltrd 2496 . . . . . . 7
1311303exp 1171 . . . . . 6
132131exlimdv 1681 . . . . 5
133115, 132mpd 15 . . . 4
13441, 133mtod 171 . . 3
135 cfon 8371 . . . . 5
136 cfle 8370 . . . . . 6
137 onsseleq 4731 . . . . . 6
138136, 137mpbii 205 . . . . 5
139135, 138mpan 655 . . . 4
140139ord 370 . . 3
14132, 134, 140sylc 59 . 2
14276adantr 455 . 2
143 elina 8800 . 2
14416, 141, 142, 143syl3anbrc 1157 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  \/wo 361  /\wa 362  /\w3a 950  E.wex 1581  =wceq 1687  e.wcel 1749  {cab 2408  =/=wne 2585  A.wral 2694  E.wrex 2695   cvv 2951  i^icin 3304  C_wss 3305   c0 3614  ~Pcpw 3837  U.cuni 4066  |^|cint 4103   class class class wbr 4267  Trwtr 4360   cep 4601  Wewwe 4649  Ordword 4689   con0 4690  Limwlim 4691  `cfv 5390   com 6446   cen 7266   cdom 7267   csdm 7268   ccrd 8052   ccf 8054   cina 8796   cgru 8903
This theorem is referenced by:  grur1a  8932  grur1  8933  grutsk  8935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-ac2 8579
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-recs 6791  df-1o 6881  df-er 7062  df-map 7177  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-card 8056  df-cf 8058  df-ac 8233  df-ina 8798  df-gru 8904
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