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Theorem gruina 9122
Description: If a Grothendieck universe is nonempty, then the height of the ordinals in is a strongly inaccessible cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
gruina.1
Assertion
Ref Expression
gruina

Proof of Theorem gruina
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3760 . . . 4
2 0ss 3780 . . . . . . . . . . 11
3 gruss 9100 . . . . . . . . . . 11
42, 3mp3an3 1304 . . . . . . . . . 10
5 0elon 4889 . . . . . . . . . 10
64, 5jctir 538 . . . . . . . . 9
7 elin 3653 . . . . . . . . 9
86, 7sylibr 212 . . . . . . . 8
9 gruina.1 . . . . . . . 8
108, 9syl6eleqr 2553 . . . . . . 7
11 ne0i 3757 . . . . . . 7
1210, 11syl 16 . . . . . 6
1312expcom 435 . . . . 5
1413exlimiv 1689 . . . 4
151, 14sylbi 195 . . 3
1615impcom 430 . 2
17 grutr 9097 . . . . . . . 8
18 tron 4859 . . . . . . . 8
19 trin 4512 . . . . . . . 8
2017, 18, 19sylancl 662 . . . . . . 7
21 inss2 3685 . . . . . . . . 9
22 epweon 6528 . . . . . . . . 9
23 wess 4824 . . . . . . . . 9
2421, 22, 23mp2 9 . . . . . . . 8
2524a1i 11 . . . . . . 7
26 df-ord 4839 . . . . . . 7
2720, 25, 26sylanbrc 664 . . . . . 6
28 inex1g 4552 . . . . . 6
29 elon2 4847 . . . . . 6
3027, 28, 29sylanbrc 664 . . . . 5
319, 30syl5eqel 2546 . . . 4
3231adantr 465 . . 3
33 eloni 4846 . . . . . . 7
34 ordirr 4854 . . . . . . 7
3533, 34syl 16 . . . . . 6
36 elin 3653 . . . . . . . . 9
3736biimpri 206 . . . . . . . 8
3837, 9syl6eleqr 2553 . . . . . . 7
3938expcom 435 . . . . . 6
4035, 39mtod 177 . . . . 5
4132, 40syl 16 . . . 4
42 inss1 3684 . . . . . . . . . . . . . . . 16
439, 42eqsstri 3500 . . . . . . . . . . . . . . 15
4443sseli 3466 . . . . . . . . . . . . . 14
45 vex 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645pwex 4592 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746canth2 7598 . . . . . . . . . . . . . . 15
4846pwex 4592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4948cardid 8848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5049ensymi 7493 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5131adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
52 grupw 9099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
53 grupw 9099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5452, 53syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5531adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
56 endom 7470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5749, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
58 cardon 8251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
59 grudomon 9121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6058, 59mp3an2 1303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6157, 60mpanr2 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
62 elin 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6362biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6463, 9syl6eleqr 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6561, 58, 64sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
66 onelss 4878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6755, 65, 66sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6854, 67syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
69 ssdomg 7489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7051, 68, 69sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16
71 endomtr 7501 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7250, 70, 71sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15
73 sdomdomtr 7578 . . . . . . . . . . . . . . 15
7447, 72, 73sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14
7544, 74sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13
7675ralrimiva 2831 . . . . . . . . . . . 12
77 inawinalem 8993 . . . . . . . . . . . 12
7831, 76, 77sylc 60 . . . . . . . . . . 11
7978adantr 465 . . . . . . . . . 10
80 winainflem 8997 . . . . . . . . . 10
8116, 32, 79, 80syl3anc 1219 . . . . . . . . 9
8245canth2 7598 . . . . . . . . . . . . . 14
83 sdomtr 7583 . . . . . . . . . . . . . 14
8482, 75, 83sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
8584ralrimiva 2831 . . . . . . . . . . . 12
86 iscard 8282 . . . . . . . . . . . 12
8731, 85, 86sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11
88 cardlim 8279 . . . . . . . . . . . 12
89 sseq2 3492 . . . . . . . . . . . . 13
90 limeq 4848 . . . . . . . . . . . . 13
9189, 90bibi12d 321 . . . . . . . . . . . 12
9288, 91mpbii 211 . . . . . . . . . . 11
9387, 92syl 16 . . . . . . . . . 10
9493adantr 465 . . . . . . . . 9
9581, 94mpbid 210 . . . . . . . 8
96 cflm 8556 . . . . . . . 8
9732, 95, 96syl2anc 661 . . . . . . 7
98 cardon 8251 . . . . . . . . . . . 12
99 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . 12
10098, 99mpbiri 233 . . . . . . . . . . 11
101100adantr 465 . . . . . . . . . 10
102101exlimiv 1689 . . . . . . . . 9
103102abssi 3541 . . . . . . . 8
104 fvex 5823 . . . . . . . . . 10
10597, 104syl6eqelr 2551 . . . . . . . . 9
106 intex 4565 . . . . . . . . 9
107105, 106sylibr 212 . . . . . . . 8
108 onint 6539 . . . . . . . 8
109103, 107, 108sylancr 663 . . . . . . 7
11097, 109eqeltrd 2542 . . . . . 6
111 eqeq1 2458 . . . . . . . . 9
112111anbi1d 704 . . . . . . . 8
113112exbidv 1681 . . . . . . 7
114104, 113elab 3216 . . . . . 6
115110, 114sylib 196 . . . . 5
116 simp2rr 1058 . . . . . . . 8
117 simp1l 1012 . . . . . . . . 9
118 simp2rl 1057 . . . . . . . . . . 11
119118, 43syl6ss 3482 . . . . . . . . . 10
12043sseli 3466 . . . . . . . . . . 11
1211203ad2ant3 1011 . . . . . . . . . 10
122 simp2l 1014 . . . . . . . . . . 11
123 vex 3084 . . . . . . . . . . . 12
124123cardid 8848 . . . . . . . . . . 11
125122, 124syl6eqbr 4446 . . . . . . . . . 10
126 gruen 9116 . . . . . . . . . 10
127117, 119, 121, 125, 126syl112anc 1223 . . . . . . . . 9
128 gruuni 9104 . . . . . . . . 9
129117, 127, 128syl2anc 661 . . . . . . . 8
130116, 129eqeltrd 2542 . . . . . . 7
1311303exp 1187 . . . . . 6
132131exlimdv 1691 . . . . 5
133115, 132mpd 15 . . . 4
13441, 133mtod 177 . . 3
135 cfon 8561 . . . . 5
136 cfle 8560 . . . . . 6
137 onsseleq 4877 . . . . . 6
138136, 137mpbii 211 . . . . 5
139135, 138mpan 670 . . . 4
140139ord 377 . . 3
14132, 134, 140sylc 60 . 2
14276adantr 465 . 2
143 elina 8991 . 2
14416, 141, 142, 143syl3anbrc 1172 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  E.wex 1587  e.wcel 1758  {cab 2439  =/=wne 2648  A.wral 2800  E.wrex 2801   cvv 3081  i^icin 3441  C_wss 3442   c0 3751  ~Pcpw 3976  U.cuni 4208  |^|cint 4245   class class class wbr 4409  Trwtr 4502   cep 4747  Wewwe 4795  Ordword 4835   con0 4836  Limwlim 4837  `cfv 5537   com 6609   cen 7441   cdom 7442   csdm 7443   ccrd 8242   ccf 8244   cina 8987   cgru 9094
This theorem is referenced by:  grur1a  9123  grur1  9124  grutsk  9126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-ac2 8769
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-recs 6966  df-1o 7054  df-er 7235  df-map 7350  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-card 8246  df-cf 8248  df-ac 8423  df-ina 8989  df-gru 9095
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