Theorem gruiun 9198

Description: If (x) is a family of elements of and the index set is an element of , then the indexed union is also an element of , where is a Grothendieck universe. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
gruiun

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem gruiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2457	. . . . . . 7
2	1	fnmpt 5712	. . . . . 6
3	1	rnmptss 6060	. . . . . 6
4		df-f 5597	. . . . . 6
5	2, 3, 4	sylanbrc 664	. . . . 5
6		gruurn 9197	. . . . . 6
7	6	3expia 1198	. . . . 5
8	5, 7	syl5com 30	. . . 4
9		dfiun3g 5260	. . . . 5
10	9	eleq1d 2526	. . . 4
11	8, 10	sylibrd 234	. . 3
12	11	com12 31	. 2
13	12	3impia 1193	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475  U.cuni 4249  U_ciun 4330  e.cmpt 4510  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  cgru 9189

This theorem is referenced by:  gruuni  9199  gruun  9205  gruixp  9208  grur1a  9218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7441  df-gru 9190