MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grur1 Unicode version

Theorem grur1 9219
Description: A characterization of Grothendieck universes, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
gruina.1
Assertion
Ref Expression
grur1

Proof of Theorem grur1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nss 3561 . . . . 5
2 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
32eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11
43rspcev 3210 . . . . . . . . . 10
54ex 434 . . . . . . . . 9
65ad2antrl 727 . . . . . . . 8
7 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12
8 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12
9 r1elssi 8244 . . . . . . . . . . . . 13
109sseld 3502 . . . . . . . . . . . 12
117, 8, 10sylc 60 . . . . . . . . . . 11
12 tcrank 8323 . . . . . . . . . . 11
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . 10
1413eleq2d 2527 . . . . . . . . 9
15 gruelss 9193 . . . . . . . . . . . 12
16 grutr 9192 . . . . . . . . . . . . 13
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
18 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
19 tcmin 8193 . . . . . . . . . . . . 13
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
2115, 17, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
22 rankf 8233 . . . . . . . . . . . . 13
23 ffun 5738 . . . . . . . . . . . . 13
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
25 fvelima 5925 . . . . . . . . . . . 12
2624, 25mpan 670 . . . . . . . . . . 11
27 ssrexv 3564 . . . . . . . . . . 11
2821, 26, 27syl2im 38 . . . . . . . . . 10
2928ad2ant2r 746 . . . . . . . . 9
3014, 29sylbid 215 . . . . . . . 8
31 simprr 757 . . . . . . . . . 10
32 ne0i 3790 . . . . . . . . . . . . . . 15
33 gruina.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3433gruina 9217 . . . . . . . . . . . . . . 15
3532, 34sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14
36 inawina 9089 . . . . . . . . . . . . . 14
37 winaon 9087 . . . . . . . . . . . . . 14
3835, 36, 373syl 20 . . . . . . . . . . . . 13
39 r1fnon 8206 . . . . . . . . . . . . . 14
40 fndm 5685 . . . . . . . . . . . . . 14
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
4238, 41syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . . 12
4342ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . 11
44 rankr1ag 8241 . . . . . . . . . . 11
4511, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
4631, 45mtbid 300 . . . . . . . . 9
47 rankon 8234 . . . . . . . . . . . . 13
48 eloni 4893 . . . . . . . . . . . . . 14
49 eloni 4893 . . . . . . . . . . . . . 14
50 ordtri3or 4915 . . . . . . . . . . . . . 14
5148, 49, 50syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13
5247, 38, 51sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
53 3orass 976 . . . . . . . . . . . 12
5452, 53sylib 196 . . . . . . . . . . 11
5554ord 377 . . . . . . . . . 10
5655ad2ant2r 746 . . . . . . . . 9
5746, 56mpd 15 . . . . . . . 8
586, 30, 57mpjaod 381 . . . . . . 7
5958ex 434 . . . . . 6
6059exlimdv 1724 . . . . 5
611, 60syl5bi 217 . . . 4
62 simpll 753 . . . . . . 7
63 ne0i 3790 . . . . . . . . . 10
6463, 34sylan2 474 . . . . . . . . 9
6564ad2ant2r 746 . . . . . . . 8
6665, 36, 373syl 20 . . . . . . 7
67 simprl 756 . . . . . . 7
68 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
6968ad2antll 728 . . . . . . . . 9
70 elina 9086 . . . . . . . . . . 11
7170simp2bi 1012 . . . . . . . . . 10
7265, 71syl 16 . . . . . . . . 9
7369, 72eqtrd 2498 . . . . . . . 8
74 rankcf 9176 . . . . . . . . 9
75 fvex 5881 . . . . . . . . . 10
76 vex 3112 . . . . . . . . . 10
77 domtri 8952 . . . . . . . . . 10
7875, 76, 77mp2an 672 . . . . . . . . 9
7974, 78mpbir 209 . . . . . . . 8
8073, 79syl6eqbrr 4490 . . . . . . 7
81 grudomon 9216 . . . . . . 7
8262, 66, 67, 80, 81syl112anc 1232 . . . . . 6
83 elin 3686 . . . . . . . . 9
8483biimpri 206 . . . . . . . 8
8584, 33syl6eleqr 2556 . . . . . . 7
86 ordirr 4901 . . . . . . . . 9
8749, 86syl 16 . . . . . . . 8
8887adantl 466 . . . . . . 7
8985, 88pm2.21dd 174 . . . . . 6
9082, 66, 89syl2anc 661 . . . . 5
9190rexlimdvaa 2950 . . . 4
9261, 91syld 44 . . 3
9392pm2.18d 111 . 2
9433grur1a 9218 . . 3
9594adantr 465 . 2
9693, 95eqssd 3520 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  Trwtr 4545  Ordword 4882   con0 4883  domcdm 5004  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593   cdom 7534   csdm 7535   ctc 8188   cr1 8201   crnk 8202   ccf 8339   cwina 9081   cina 9082   cgru 9189
This theorem is referenced by:  grutsk  9221  bj-grur1  34590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-ac2 8864
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-tc 8189  df-r1 8203  df-rank 8204  df-card 8341  df-cf 8343  df-acn 8344  df-ac 8518  df-wina 9083  df-ina 9084  df-gru 9190
  Copyright terms: Public domain W3C validator