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Theorem grur1a 9218
Description: A characterization of Grothendieck universes, part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
gruina.1
Assertion
Ref Expression
grur1a

Proof of Theorem grur1a
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gruina.1 . . . . . 6
2 inss1 3717 . . . . . 6
31, 2eqsstri 3533 . . . . 5
4 sseq2 3525 . . . . 5
53, 4mpbii 211 . . . 4
6 ss0 3816 . . . 4
7 fveq2 5871 . . . . . 6
8 r10 8207 . . . . . 6
97, 8syl6eq 2514 . . . . 5
10 0ss 3814 . . . . 5
119, 10syl6eqss 3553 . . . 4
125, 6, 113syl 20 . . 3
1312a1i 11 . 2
141gruina 9217 . . . . 5
15 inawina 9089 . . . . 5
16 winaon 9087 . . . . . 6
17 winalim 9094 . . . . . 6
18 r1lim 8211 . . . . . 6
1916, 17, 18syl2anc 661 . . . . 5
2014, 15, 193syl 20 . . . 4
21 inss2 3718 . . . . . . . . . . . 12
221, 21eqsstri 3533 . . . . . . . . . . 11
2322sseli 3499 . . . . . . . . . 10
24 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . 13
25 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15
2625, 8syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . 14
2726eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13
2824, 27imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12
29 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . 13
30 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
3130eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13
3229, 31imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12
33 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . 13
34 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
3534eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13
3633, 35imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12
373sseli 3499 . . . . . . . . . . . . 13
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
39 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
40 elelsuc 4955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
413sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
42 ne0i 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4414, 15, 163syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4543, 44sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
46 eloni 4893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
47 ordsucelsuc 6657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4845, 46, 473syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4940, 48syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5039, 49mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
51 grupw 9194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5251ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5352adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
54 r1suc 8209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5554eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5655biimprcd 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5753, 56syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5850, 57embantd 54 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
6059com23 78 . . . . . . . . . . . . 13
6160com4r 86 . . . . . . . . . . . 12
62 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
633sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
64 ne0i 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6665, 44sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
67 ontr1 4929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
68 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6967, 68syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7069expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7170com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7262, 66, 71sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7372imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7473ralimdva 2865 . . . . . . . . . . . . . . . 16
75 gruiun 9198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76753expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7763, 76sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7874, 77syld 44 . . . . . . . . . . . . . . 15
79 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
80 r1lim 8211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8179, 80mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8281eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8382biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . 15
8478, 83sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . . 14
8584exp32 605 . . . . . . . . . . . . 13
8685com34 83 . . . . . . . . . . . 12
8728, 32, 36, 38, 61, 86tfinds2 6698 . . . . . . . . . . 11
8887com3r 79 . . . . . . . . . 10
8923, 88mpd 15 . . . . . . . . 9
9089impcom 430 . . . . . . . 8
91 gruelss 9193 . . . . . . . 8
9290, 91syldan 470 . . . . . . 7
9392ralrimiva 2871 . . . . . 6
94 iunss 4371 . . . . . 6
9593, 94sylibr 212 . . . . 5
9695adantr 465 . . . 4
9720, 96eqsstrd 3537 . . 3
9897ex 434 . 2
9913, 98pm2.61dne 2774 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  U_ciun 4330  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  `cfv 5593   cr1 8201   cwina 9081   cina 9082   cgru 9189
This theorem is referenced by:  grur1  9219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-ac2 8864
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-r1 8203  df-card 8341  df-cf 8343  df-ac 8518  df-wina 9083  df-ina 9084  df-gru 9190
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