Theorem grur1a 9218

Description: A characterization of Grothendieck universes, part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
gruina.1

Assertion

Ref	Expression
grur1a

Proof of Theorem grur1a

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gruina.1	. . . . . 6
2		inss1 3717	. . . . . 6
3	1, 2	eqsstri 3533	. . . . 5
4		sseq2 3525	. . . . 5
5	3, 4	mpbii 211	. . . 4
6		ss0 3816	. . . 4
7		fveq2 5871	. . . . . 6
8		r10 8207	. . . . . 6
9	7, 8	syl6eq 2514	. . . . 5
10		0ss 3814	. . . . 5
11	9, 10	syl6eqss 3553	. . . 4
12	5, 6, 11	3syl 20	. . 3
13	12	a1i 11	. 2
14	1	gruina 9217	. . . . 5
15		inawina 9089	. . . . 5
16		winaon 9087	. . . . . 6
17		winalim 9094	. . . . . 6
18		r1lim 8211	. . . . . 6
19	16, 17, 18	syl2anc 661	. . . . 5
20	14, 15, 19	3syl 20	. . . 4
21		inss2 3718	. . . . . . . . . . . 12
22	1, 21	eqsstri 3533	. . . . . . . . . . 11
23	22	sseli 3499	. . . . . . . . . 10
24		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . 13
25		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	25, 8	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . . . 14
27	26	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . 13
28	24, 27	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12
29		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . 13
30		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . 14
31	30	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . 13
32	29, 31	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12
33		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . 13
34		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . 14
35	34	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . 13
36	33, 35	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12
37	3	sseli 3499	. . . . . . . . . . . . 13
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
39		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
40		elelsuc 4955	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
41	3	sseli 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
42		ne0i 3790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
43	41, 42	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
44	14, 15, 16	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
45	43, 44	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
46		eloni 4893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
47		ordsucelsuc 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
48	45, 46, 47	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
49	40, 48	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
50	39, 49	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16
51		grupw 9194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
52	51	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53	52	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
54		r1suc 8209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
55	54	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
56	55	biimprcd 225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
57	53, 56	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58	50, 57	embantd 54	. . . . . . . . . . . . . . 15
59	58	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14
60	59	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13
61	60	com4r 86	. . . . . . . . . . . 12
62		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
63	3	sseli 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
64		ne0i 3790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
65	63, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
66	65, 44	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
67		ontr1 4929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
68		pm2.27 39	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
69	67, 68	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
70	69	expd 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
71	70	com3r 79	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
72	62, 66, 71	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
73	72	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
74	73	ralimdva 2865	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75		gruiun 9198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76	75	3expia 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
77	63, 76	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78	74, 77	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . 15
79		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
80		r1lim 8211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
81	79, 80	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
82	81	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . 16
83	82	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . 15
84	78, 83	sylan9r 658	. . . . . . . . . . . . . 14
85	84	exp32 605	. . . . . . . . . . . . 13
86	85	com34 83	. . . . . . . . . . . 12
87	28, 32, 36, 38, 61, 86	tfinds2 6698	. . . . . . . . . . 11
88	87	com3r 79	. . . . . . . . . 10
89	23, 88	mpd 15	. . . . . . . . 9
90	89	impcom 430	. . . . . . . 8
91		gruelss 9193	. . . . . . . 8
92	90, 91	syldan 470	. . . . . . 7
93	92	ralrimiva 2871	. . . . . 6
94		iunss 4371	. . . . . 6
95	93, 94	sylibr 212	. . . . 5
96	95	adantr 465	. . . 4
97	20, 96	eqsstrd 3537	. . 3
98	97	ex 434	. 2
99	13, 98	pm2.61dne 2774	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  ~Pcpw 4012  U_ciun 4330  Ordword 4882  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  `cfv 5593  cr1 8201  cwina 9081  cina 9082  cgru 9189

This theorem is referenced by:  grur1  9219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-ac2 8864

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-r1 8203  df-card 8341  df-cf 8343  df-ac 8518  df-wina 9083  df-ina 9084  df-gru 9190