MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grutsk Unicode version

Theorem grutsk 9221
Description: Grothendieck universes are the same as transitive Tarski classes. (The proof in the forward direction requires Foundation.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grutsk

Proof of Theorem grutsk
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0tsk 9154 . . . . . . . 8
2 eleq1 2529 . . . . . . . 8
31, 2mpbiri 233 . . . . . . 7
43a1i 11 . . . . . 6
5 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
6 unir1 8252 . . . . . . . . . . 11
75, 6eleqtrri 2544 . . . . . . . . . 10
8 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
98grur1 9219 . . . . . . . . . 10
107, 9mpan2 671 . . . . . . . . 9
1110adantr 465 . . . . . . . 8
128gruina 9217 . . . . . . . . 9
13 inatsk 9177 . . . . . . . . 9
1412, 13syl 16 . . . . . . . 8
1511, 14eqeltrd 2545 . . . . . . 7
1615ex 434 . . . . . 6
174, 16pm2.61dne 2774 . . . . 5
18 grutr 9192 . . . . 5
1917, 18jca 532 . . . 4
20 grutsk1 9220 . . . 4
2119, 20impbii 188 . . 3
22 treq 4551 . . . 4
2322elrab 3257 . . 3
2421, 23bitr4i 252 . 2
2524eqriv 2453 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  {crab 2811   cvv 3109  i^icin 3474   c0 3784  U.cuni 4249  Trwtr 4545   con0 4883  "cima 5007  `cfv 5593   cr1 8201   cina 9082   ctsk 9147   cgru 9189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf2 8079  ax-ac2 8864
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-smo 7036  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-ixp 7490  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-tc 8189  df-r1 8203  df-rank 8204  df-card 8341  df-aleph 8342  df-cf 8343  df-acn 8344  df-ac 8518  df-wina 9083  df-ina 9084  df-tsk 9148  df-gru 9190
  Copyright terms: Public domain W3C validator