MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum2d Unicode version

Theorem gsum2d 16632
Description: Write a sum over a two-dimensional region as a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 8-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d.b
gsum2d.z
gsum2d.g
gsum2d.a
gsum2d.r
gsum2d.d
gsum2d.s
gsum2d.f
gsum2d.w
Assertion
Ref Expression
gsum2d
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,   , ,   , ,   , ,   , ,

Proof of Theorem gsum2d
StepHypRef Expression
1 gsum2d.b . . 3
2 gsum2d.z . . 3
3 gsum2d.g . . 3
4 gsum2d.a . . 3
5 gsum2d.r . . 3
6 gsum2d.d . . 3
7 gsum2d.s . . 3
8 gsum2d.f . . 3
9 gsum2d.w . . 3
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9gsum2dlem2 16631 . 2
11 suppssdm 6837 . . . . . 6
12 fdm 5683 . . . . . . 7
138, 12syl 16 . . . . . 6
1411, 13syl5sseq 3518 . . . . 5
15 relss 5044 . . . . . . 7
1614, 5, 15sylc 60 . . . . . 6
17 relssdmrn 5477 . . . . . . 7
18 ssv 3490 . . . . . . . 8
19 xpss2 5066 . . . . . . . 8
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7
2117, 20syl6ss 3482 . . . . . 6
2216, 21syl 16 . . . . 5
2314, 22ssind 3688 . . . 4
24 df-res 4969 . . . 4
2523, 24syl6sseqr 3517 . . 3
261, 2, 3, 4, 8, 25, 9gsumres 16556 . 2
27 dmss 5156 . . . . . . 7
2814, 27syl 16 . . . . . 6
2928, 7sstrd 3480 . . . . 5
30 resmpt 5274 . . . . 5
3129, 30syl 16 . . . 4
3231oveq2d 6238 . . 3
331, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9gsum2dlem1 16630 . . . . . 6
3433adantr 465 . . . . 5
35 eqid 2454 . . . . 5
3634, 35fmptd 5990 . . . 4
37 vex 3084 . . . . . . . . . . . . . 14
38 vex 3084 . . . . . . . . . . . . . 14
3937, 38elimasn 5313 . . . . . . . . . . . . 13
4039biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12
4140ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11
42 eldifn 3593 . . . . . . . . . . . . 13
4342ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12
4437, 38opeldm 5160 . . . . . . . . . . . 12
4543, 44nsyl 121 . . . . . . . . . . 11
4641, 45eldifd 3453 . . . . . . . . . 10
47 df-ov 6225 . . . . . . . . . . 11
48 ssid 3489 . . . . . . . . . . . . 13
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
50 fvex 5823 . . . . . . . . . . . . . 14
512, 50eqeltri 2538 . . . . . . . . . . . . 13
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
538, 49, 4, 52suppssr 6854 . . . . . . . . . . 11
5447, 53syl5eq 2507 . . . . . . . . . 10
5546, 54syldan 470 . . . . . . . . 9
5655anassrs 648 . . . . . . . 8
5756mpteq2dva 4495 . . . . . . 7
5857oveq2d 6238 . . . . . 6
59 cmnmnd 16453 . . . . . . . . 9
603, 59syl 16 . . . . . . . 8
61 imaexg 6648 . . . . . . . . 9
624, 61syl 16 . . . . . . . 8
632gsumz 15670 . . . . . . . 8
6460, 62, 63syl2anc 661 . . . . . . 7
6564adantr 465 . . . . . 6
6658, 65eqtrd 2495 . . . . 5
6766, 6suppss2 6857 . . . 4
68 funmpt 5573 . . . . . 6
6968a1i 11 . . . . 5
709fsuppimpd 7762 . . . . . . 7
71 dmfi 7729 . . . . . . 7
7270, 71syl 16 . . . . . 6
73 ssfi 7668 . . . . . 6
7472, 67, 73syl2anc 661 . . . . 5
75 mptexg 6072 . . . . . . 7
766, 75syl 16 . . . . . 6
77 isfsupp 7759 . . . . . 6
7876, 52, 77syl2anc 661 . . . . 5
7969, 74, 78mpbir2and 913 . . . 4
801, 2, 3, 6, 36, 67, 79gsumres 16556 . . 3
8132, 80eqtr3d 2497 . 2
8210, 26, 813eqtr3d 2503 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758   cvv 3081  \cdif 3439  i^icin 3441  C_wss 3442  {csn 3993  <.cop 3999   class class class wbr 4409  e.cmpt 4467  X.cxp 4955  domcdm 4957  rancrn 4958  |`cres 4959  "cima 4960  Relwrel 4962  Funwfun 5531  -->wf 5533  `cfv 5537  (class class class)co 6222   csupp 6824   cfn 7444   cfsupp 7755   cbs 14332   c0g 14537   cgsu 14538   cmnd 15568   ccmn 16438
This theorem is referenced by:  gsum2d2  16635  gsumxp  16637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-iin 4291  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-of 6453  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-supp 6825  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-oadd 7058  df-er 7235  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-fsupp 7756  df-oi 7861  df-card 8246  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-2 10518  df-n0 10718  df-z 10785  df-uz 11001  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-seq 11964  df-hash 12261  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-ress 14339  df-plusg 14410  df-0g 14539  df-gsum 14540  df-mre 14683  df-mrc 14684  df-acs 14686  df-mnd 15574  df-submnd 15624  df-mulg 15707  df-cntz 15994  df-cmn 16440
  Copyright terms: Public domain W3C validator