MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumval3eu Unicode version

Theorem gsumval3eu 16542
Description: The group sum as defined in gsumval3a 16540 is uniquely defined. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumval3.b
gsumval3.0
gsumval3.p
gsumval3.z
gsumval3.g
gsumval3.a
gsumval3.f
gsumval3.c
gsumval3a.t
gsumval3a.n
gsumval3a.s
Assertion
Ref Expression
gsumval3eu
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,   ,   , ,   ,   , ,   , ,   , ,

Proof of Theorem gsumval3eu
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumval3a.n . . . . . 6
21neneqd 2655 . . . . 5
3 gsumval3a.t . . . . . . 7
4 fz1f1o 13345 . . . . . . 7
53, 4syl 16 . . . . . 6
65ord 377 . . . . 5
72, 6mpd 15 . . . 4
87simprd 463 . . 3
9 excom 1789 . . . 4
10 exancom 1639 . . . . . 6
11 fvex 5823 . . . . . . 7
12 biidd 237 . . . . . . 7
1311, 12ceqsexv 3118 . . . . . 6
1410, 13bitri 249 . . . . 5
1514exbii 1635 . . . 4
169, 15bitri 249 . . 3
178, 16sylibr 212 . 2
18 eeanv 1944 . . . 4
19 an4 820 . . . . . 6
20 gsumval3.g . . . . . . . . . . 11
2120adantr 465 . . . . . . . . . 10
22 gsumval3.b . . . . . . . . . . . 12
23 gsumval3.p . . . . . . . . . . . 12
2422, 23mndcl 15579 . . . . . . . . . . 11
25243expb 1189 . . . . . . . . . 10
2621, 25sylan 471 . . . . . . . . 9
27 gsumval3.c . . . . . . . . . . . . 13
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
2928sselda 3470 . . . . . . . . . . 11
3029adantrr 716 . . . . . . . . . 10
31 simprr 756 . . . . . . . . . 10
32 gsumval3.z . . . . . . . . . . 11
3323, 32cntzi 16006 . . . . . . . . . 10
3430, 31, 33syl2anc 661 . . . . . . . . 9
3522, 23mndass 15580 . . . . . . . . . 10
3621, 35sylan 471 . . . . . . . . 9
377simpld 459 . . . . . . . . . . 11
3837adantr 465 . . . . . . . . . 10
39 nnuz 11035 . . . . . . . . . 10
4038, 39syl6eleq 2552 . . . . . . . . 9
41 gsumval3.f . . . . . . . . . . 11
4241adantr 465 . . . . . . . . . 10
43 frn 5685 . . . . . . . . . 10
4442, 43syl 16 . . . . . . . . 9
45 simprr 756 . . . . . . . . . . 11
46 f1ocnv 5775 . . . . . . . . . . 11
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . 10
48 simprl 755 . . . . . . . . . 10
49 f1oco 5785 . . . . . . . . . 10
5047, 48, 49syl2anc 661 . . . . . . . . 9
51 f1of 5763 . . . . . . . . . . . 12
5245, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11
53 fvco3 5891 . . . . . . . . . . 11
5452, 53sylan 471 . . . . . . . . . 10
55 ffn 5679 . . . . . . . . . . . . 13
5642, 55syl 16 . . . . . . . . . . . 12
5756adantr 465 . . . . . . . . . . 11
58 gsumval3a.s . . . . . . . . . . . . . 14
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
60 fss 5687 . . . . . . . . . . . . 13
6152, 59, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
6261ffvelrnda 5966 . . . . . . . . . . 11
63 fnfvelrn 5963 . . . . . . . . . . 11
6457, 62, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
6554, 64eqeltrd 2542 . . . . . . . . 9
66 f1of 5763 . . . . . . . . . . . . . . 15
6748, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
68 fvco3 5891 . . . . . . . . . . . . . 14
6967, 68sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13
7069fveq2d 5817 . . . . . . . . . . . 12
7145adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
7267ffvelrnda 5966 . . . . . . . . . . . . 13
73 f1ocnvfv2 6109 . . . . . . . . . . . . 13
7471, 72, 73syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
7570, 74eqtr2d 2496 . . . . . . . . . . 11
7675fveq2d 5817 . . . . . . . . . 10
77 fvco3 5891 . . . . . . . . . . 11
7867, 77sylan 471 . . . . . . . . . 10
79 f1of 5763 . . . . . . . . . . . . 13
8050, 79syl 16 . . . . . . . . . . . 12
8180ffvelrnda 5966 . . . . . . . . . . 11
82 fvco3 5891 . . . . . . . . . . . 12
8361, 82sylan 471 . . . . . . . . . . 11
8481, 83syldan 470 . . . . . . . . . 10
8576, 78, 843eqtr4d 2505 . . . . . . . . 9
8626, 34, 36, 40, 44, 50, 65, 85seqf1o 12004 . . . . . . . 8
87 eqeq12 2473 . . . . . . . 8
8886, 87syl5ibrcom 222 . . . . . . 7
8988expimpd 603 . . . . . 6
9019, 89syl5bir 218 . . . . 5
9190exlimdvv 1692 . . . 4
9218, 91syl5bir 218 . . 3
9392alrimivv 1687 . 2
94 eqeq1 2458 . . . . . 6
9594anbi2d 703 . . . . 5
9695exbidv 1681 . . . 4
97 f1oeq1 5754 . . . . . 6
98 coeq2 5115 . . . . . . . . 9
9998seqeq3d 11971 . . . . . . . 8
10099fveq1d 5815 . . . . . . 7
101100eqeq2d 2468 . . . . . 6
10297, 101anbi12d 710 . . . . 5
103102cbvexv 1984 . . . 4
10496, 103syl6bb 261 . . 3
105104eu4 2327 . 2
10617, 93, 105sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 965  A.wal 1368  =wceq 1370  E.wex 1587  e.wcel 1758  E!weu 2262  =/=wne 2648  C_wss 3442   c0 3751  `'ccnv 4956  rancrn 4958  o.ccom 4961  Fnwfn 5532  -->wf 5533  -1-1-onto->wf1o 5536  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cfn 7444  1c1 9420   cn 10460   cuz 11000   cfz 11582  seqcseq 11963   chash 12260   cbs 14332   cplusg 14397   c0g 14537   cmnd 15568   ccntz 15992
This theorem is referenced by:  gsumval3OLD  16543  gsumval3lem2  16545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-oadd 7058  df-er 7235  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-card 8246  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-n0 10718  df-z 10785  df-uz 11001  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-seq 11964  df-hash 12261  df-mnd 15574  df-cntz 15994
  Copyright terms: Public domain W3C validator