Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumwmhm Unicode version

Theorem gsumwmhm 15682
 Description: Behavior of homomorphisms on finite monoidal sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
gsumwmhm.b
Assertion
Ref Expression
gsumwmhm

Proof of Theorem gsumwmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6230 . . . . 5
2 eqid 2454 . . . . . 6
32gsum0 15669 . . . . 5
41, 3syl6eq 2511 . . . 4
54fveq2d 5817 . . 3
6 coeq2 5115 . . . . . 6
7 co02 5470 . . . . . 6
86, 7syl6eq 2511 . . . . 5
98oveq2d 6238 . . . 4
10 eqid 2454 . . . . 5
1110gsum0 15669 . . . 4
129, 11syl6eq 2511 . . 3
135, 12eqeq12d 2476 . 2
14 mhmrcl1 15626 . . . . . 6
1514ad2antrr 725 . . . . 5
16 gsumwmhm.b . . . . . . 7
17 eqid 2454 . . . . . . 7
1816, 17mndcl 15579 . . . . . 6
19183expb 1189 . . . . 5
2015, 19sylan 471 . . . 4
21 wrdf 12398 . . . . . . 7
2221ad2antlr 726 . . . . . 6
23 wrdfin 12406 . . . . . . . . . . . 12
2423adantl 466 . . . . . . . . . . 11
25 hashnncl 12291 . . . . . . . . . . 11
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . 10
2726biimpar 485 . . . . . . . . 9
2827nnzd 10884 . . . . . . . 8
29 fzoval 11699 . . . . . . . 8
3028, 29syl 16 . . . . . . 7
3130feq2d 5667 . . . . . 6
3222, 31mpbid 210 . . . . 5
3332ffvelrnda 5966 . . . 4
34 nnm1nn0 10759 . . . . . 6
3527, 34syl 16 . . . . 5
36 nn0uz 11034 . . . . 5
3735, 36syl6eleq 2552 . . . 4
38 simpll 753 . . . . 5
39 eqid 2454 . . . . . . 7
4016, 17, 39mhmlin 15630 . . . . . 6
41403expb 1189 . . . . 5
4238, 41sylan 471 . . . 4
43 ffn 5679 . . . . . . 7
4432, 43syl 16 . . . . . 6
45 fvco2 5889 . . . . . 6
4644, 45sylan 471 . . . . 5
4746eqcomd 2462 . . . 4
4820, 33, 37, 42, 47seqhomo 12010 . . 3
4916, 17, 15, 37, 32gsumval2 15672 . . . 4
5049fveq2d 5817 . . 3
51 eqid 2454 . . . 4
52 mhmrcl2 15627 . . . . 5
5352ad2antrr 725 . . . 4
5416, 51mhmf 15628 . . . . . 6
5554ad2antrr 725 . . . . 5
56 fco 5689 . . . . 5
5755, 32, 56syl2anc 661 . . . 4
5851, 39, 53, 37, 57gsumval2 15672 . . 3
5948, 50, 583eqtr4d 2505 . 2
602, 10mhm0 15631 . . 3
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648   c0 3751  o.ccom 4961  Fnwfn 5532  -->wf 5533  cfv 5537  (class class class)co 6222   cfn 7444  0cc0 9419  1c1 9420   cmin 9732   cn 10460   cn0 10717   cz 10784   cuz 11000   cfz 11582   cfzo 11693  seqcseq 11963   chash 12260  Word`cword 12379   cbs 14332   cplusg 14397   c0g 14537   cgsu 14538   cmnd 15568   cmhm 15621 This theorem is referenced by:  frmdup3  15703  symgtrinv  16137  frgpup3lem  16435 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-card 8246  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-n0 10718  df-z 10785  df-uz 11001  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-seq 11964  df-hash 12261  df-word 12387  df-0g 14539  df-gsum 14540  df-mnd 15574  df-mhm 15623