MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumwmhm Unicode version

Theorem gsumwmhm 15460
Description: Behavior of homomorphisms on finite monoidal sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
gsumwmhm.b
Assertion
Ref Expression
gsumwmhm

Proof of Theorem gsumwmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6069 . . . . 5
2 eqid 2422 . . . . . 6
32gsum0 15447 . . . . 5
41, 3syl6eq 2470 . . . 4
54fveq2d 5665 . . 3
6 coeq2 4969 . . . . . 6
7 co02 5323 . . . . . 6
86, 7syl6eq 2470 . . . . 5
98oveq2d 6077 . . . 4
10 eqid 2422 . . . . 5
1110gsum0 15447 . . . 4
129, 11syl6eq 2470 . . 3
135, 12eqeq12d 2436 . 2
14 mhmrcl1 15407 . . . . . 6
1514ad2antrr 710 . . . . 5
16 gsumwmhm.b . . . . . . 7
17 eqid 2422 . . . . . . 7
1816, 17mndcl 15360 . . . . . 6
19183expb 1173 . . . . 5
2015, 19sylan 461 . . . 4
21 wrdf 12181 . . . . . . 7
2221ad2antlr 711 . . . . . 6
23 wrdfin 12189 . . . . . . . . . . . 12
2423adantl 456 . . . . . . . . . . 11
25 hashnncl 12075 . . . . . . . . . . 11
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . 10
2726biimpar 475 . . . . . . . . 9
2827nnzd 10691 . . . . . . . 8
29 fzoval 11495 . . . . . . . 8
3028, 29syl 16 . . . . . . 7
3130feq2d 5517 . . . . . 6
3222, 31mpbid 204 . . . . 5
3332ffvelrnda 5813 . . . 4
34 nnm1nn0 10567 . . . . . 6
3527, 34syl 16 . . . . 5
36 nn0uz 10840 . . . . 5
3735, 36syl6eleq 2512 . . . 4
38 simpll 738 . . . . 5
39 eqid 2422 . . . . . . 7
4016, 17, 39mhmlin 15411 . . . . . 6
41403expb 1173 . . . . 5
4238, 41sylan 461 . . . 4
43 ffn 5529 . . . . . . 7
4432, 43syl 16 . . . . . 6
45 fvco2 5736 . . . . . 6
4644, 45sylan 461 . . . . 5
4746eqcomd 2427 . . . 4
4820, 33, 37, 42, 47seqhomo 11794 . . 3
4916, 17, 15, 37, 32gsumval2 15450 . . . 4
5049fveq2d 5665 . . 3
51 eqid 2422 . . . 4
52 mhmrcl2 15408 . . . . 5
5352ad2antrr 710 . . . 4
5416, 51mhmf 15409 . . . . . 6
5554ad2antrr 710 . . . . 5
56 fco 5538 . . . . 5
5755, 32, 56syl2anc 646 . . . 4
5851, 39, 53, 37, 57gsumval2 15450 . . 3
5948, 50, 583eqtr4d 2464 . 2
602, 10mhm0 15412 . . 3
6160adantr 455 . 2
6213, 59, 61pm2.61ne 2665 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  =/=wne 2585   c0 3614  o.ccom 4815  Fnwfn 5385  -->wf 5386  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cfn 7269  0cc0 9228  1c1 9229   cmin 9541   cn 10268   cn0 10525   cz 10591   cuz 10806   cfz 11381   cfzo 11489  seqcseq 11747   chash 12044  Wordcword 12162   cbs 14114   cplusg 14178   c0g 14318   cgsu 14319   cmnd 15349   cmhm 15402
This theorem is referenced by:  frmdup3  15481  symgtrinv  15915  frgpup3lem  16211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-card 8056  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-nn 10269  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-seq 11748  df-hash 12045  df-word 12170  df-0g 14320  df-gsum 14321  df-mnd 15355  df-mhm 15404
  Copyright terms: Public domain W3C validator