Theorem gt0ne0 10042

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0

Proof of Theorem gt0ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 9618	. 2
2		ltne 9702	. 2
3	1, 2	sylan 471	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  cr 9512  0cc0 9513  clt 9649

This theorem is referenced by:  recgt0  10411  lemul1  10419  lediv1  10432  gt0div  10433  ge0div  10434  mulge0b  10437  ltdivmul  10442  ledivmul  10443  ledivmulOLD  10444  lt2mul2div  10446  lemuldiv  10449  ltdiv2  10455  ltrec1  10457  lerec2  10458  ledivdiv  10459  lediv2  10460  ltdiv23  10461  lediv23  10462  lediv12a  10463  recreclt  10469  nnrecl  10818  elnnz  10899  recnz  10963  rpne0  11264  divelunit  11691  resqrex  13084  sqrtgt0  13092  argregt0  22995  argimgt0  22997  logneg2  23000  logcnlem3  23025  atanlogsublem  23246  leopmul  27053  cdj1i  27352  lediv2aALT  29043  nndivlub  29923  sineq0ALT  33737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654