Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfnq Unicode version

Theorem halfnq 9375
 Description: One-half of any positive fraction exists. Lemma for Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 16-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
halfnq
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem halfnq
StepHypRef Expression
1 distrnq 9360 . . . 4
2 distrnq 9360 . . . . . . . 8
3 1nq 9327 . . . . . . . . . . 11
4 addclnq 9344 . . . . . . . . . . 11
53, 3, 4mp2an 672 . . . . . . . . . 10
6 recidnq 9364 . . . . . . . . . 10
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9
87, 7oveq12i 6308 . . . . . . . 8
92, 8eqtri 2486 . . . . . . 7
109oveq1i 6306 . . . . . 6
117oveq2i 6307 . . . . . . 7
12 mulassnq 9358 . . . . . . . 8
13 mulcomnq 9352 . . . . . . . . 9
1413oveq1i 6306 . . . . . . . 8
1512, 14eqtr3i 2488 . . . . . . 7
16 recclnq 9365 . . . . . . . . 9
17 addclnq 9344 . . . . . . . . 9
1816, 16, 17syl2anc 661 . . . . . . . 8
19 mulidnq 9362 . . . . . . . 8
205, 18, 19mp2b 10 . . . . . . 7
2111, 15, 203eqtr3i 2494 . . . . . 6
2210, 21, 73eqtr3i 2494 . . . . 5
2322oveq2i 6307 . . . 4
241, 23eqtr3i 2488 . . 3
25 mulidnq 9362 . . 3
2624, 25syl5eq 2510 . 2
27 ovex 6324 . . 3
28 oveq12 6305 . . . . 5
2928anidms 645 . . . 4
3029eqeq1d 2459 . . 3
3127, 30spcev 3201 . 2
3226, 31syl 16 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cnq 9251   c1q 9252   cplq 9254   cmq 9255   crq 9256 This theorem is referenced by:  nsmallnq  9376 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316
 Copyright terms: Public domain W3C validator