MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hargch Unicode version

Theorem hargch 9072
Description: If A ~PA, then is a GCH-set. The much simpler converse to gchhar 9078. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
hargch

Proof of Theorem hargch
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 harcl 8008 . . . . . . . . . . . . . 14
2 sdomdom 7563 . . . . . . . . . . . . . 14
3 ondomen 8439 . . . . . . . . . . . . . 14
41, 2, 3sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
5 onenon 8351 . . . . . . . . . . . . . 14
61, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
7 cardsdom2 8390 . . . . . . . . . . . . 13
84, 6, 7sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12
98ibir 242 . . . . . . . . . . 11
10 harcard 8380 . . . . . . . . . . 11
119, 10syl6eleq 2555 . . . . . . . . . 10
12 elharval 8010 . . . . . . . . . . 11
1312simprbi 464 . . . . . . . . . 10
1411, 13syl 16 . . . . . . . . 9
15 cardid2 8355 . . . . . . . . . 10
16 domen1 7679 . . . . . . . . . 10
174, 15, 163syl 20 . . . . . . . . 9
1814, 17mpbid 210 . . . . . . . 8
19 domnsym 7663 . . . . . . . 8
2018, 19syl 16 . . . . . . 7
2120con2i 120 . . . . . 6
22 sdomen2 7682 . . . . . . 7
2322notbid 294 . . . . . 6
2421, 23syl5ib 219 . . . . 5
25 imnan 422 . . . . 5
2624, 25sylib 196 . . . 4
2726alrimiv 1719 . . 3
2827olcd 393 . 2
29 relen 7541 . . . . 5
3029brrelex2i 5046 . . . 4
31 pwexb 6611 . . . 4
3230, 31sylibr 212 . . 3
33 elgch 9021 . . 3
3432, 33syl 16 . 2
3528, 34mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  A.wal 1393  e.wcel 1818   cvv 3109  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452   con0 4883  domcdm 5004  `cfv 5593   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   cfn 7536   char 8003   ccrd 8337   cgch 9019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-recs 7061  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-gch 9020
  Copyright terms: Public domain W3C validator